Номер 10.33, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.33. Биссектрисы $MA$ и $KB$ треугольника $MNK$ пересекаются в точке $O$, точки $A$, $N$, $B$ и $O$ лежат на одной окружности. Найдите угол $N$.

10.33. Биссектрисы $MA$ и $KB$ треугольника $MNK$ пересекаются в точке $O$, точки $A$, $N$, $B$ и $O$ лежат на одной окружности. Найдите угол $N$.

Пусть в треугольнике $MNK$ проведены биссектрисы $MA$ и $KB$, которые пересекаются в точке $O$. Точки $A$, $N$, $B$ и $O$ лежат на одной окружности, что означает, что четырехугольник $ANBO$ является вписанным в окружность.

Обозначим углы треугольника $MNK$ следующим образом: $\angle M = 2\alpha$, $\angle N = \beta$, $\angle K = 2\gamma$.

Так как $MA$ — биссектриса угла $\angle M$, то $\angle OMK = \alpha$.
Так как $KB$ — биссектриса угла $\angle K$, то $\angle OKM = \gamma$.

Рассмотрим треугольник $MOK$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому: $\angle MOK = 180^\circ - (\angle OMK + \angle OKM) = 180^\circ - (\alpha + \gamma)$.

Углы $\angle AOB$ и $\angle MOK$ являются вертикальными, следовательно, они равны: $\angle AOB = \angle MOK = 180^\circ - (\alpha + \gamma)$.

По условию, четырехугольник $ANBO$ вписанный. Главное свойство вписанного четырехугольника гласит, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. В четырехугольнике $ANBO$ углы при вершинах $N$ и $O$ ($\angle ANB$ и $\angle AOB$) — противоположные.

Угол четырехугольника при вершине $N$ — это $\angle ANB$. Поскольку точка $A$ лежит на стороне $NK$, а точка $B$ — на стороне $MN$, этот угол совпадает с углом $\angle MNK$ треугольника. Таким образом, $\angle ANB = \angle N = \beta$.

Для вписанного четырехугольника $ANBO$ справедливо равенство: $\angle ANB + \angle AOB = 180^\circ$.

Подставим в это равенство найденные выражения для углов: $\beta + (180^\circ - (\alpha + \gamma)) = 180^\circ$.
Упростив выражение, получим: $\beta = \alpha + \gamma$.

Теперь воспользуемся свойством суммы углов треугольника $MNK$: $\angle M + \angle N + \angle K = 180^\circ$.
$2\alpha + \beta + 2\gamma = 180^\circ$.
Вынесем 2 за скобки: $2(\alpha + \gamma) + \beta = 180^\circ$.

Мы уже установили, что $\beta = \alpha + \gamma$. Заменим $(\alpha + \gamma)$ на $\beta$ в последнем уравнении: $2\beta + \beta = 180^\circ$.
$3\beta = 180^\circ$.
$\beta = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$.

Следовательно, искомый угол $N$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.