Номер 10.30, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.30. Высоты $AA_1$ и $BB_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Точки $X$ и $Y$ — середины отрезков $AB$ и $CH$ соответственно. Докажите, что $XY \perp A_1B_1$.

10.30. Высоты $AA_1$ и $BB_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Точки $X$ и $Y$ — середины отрезков $AB$ и $CH$ соответственно. Докажите, что $XY \perp A_1B_1$.

Рассмотрим четырехугольник $ABA_1B_1$. По условию задачи, $AA_1$ и $BB_1$ являются высотами треугольника $ABC$, следовательно, $AA_1 \perp BC$ и $BB_1 \perp AC$. Это означает, что углы $\angle AA_1B$ и $\angle AB_1B$ прямые, то есть равны $90^\circ$.

Поскольку углы $\angle AA_1B$ и $\angle AB_1B$ опираются на один и тот же отрезок $AB$, точки $A, B, A_1, B_1$ лежат на одной окружности, диаметром которой является отрезок $AB$.

Точка $X$ — середина отрезка $AB$, следовательно, $X$ является центром этой окружности. Отрезки $XA_1$ и $XB_1$ являются радиусами данной окружности, поэтому $XA_1 = XB_1$. Таким образом, точка $X$ равноудалена от точек $A_1$ и $B_1$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $CA_1HB_1$. Так как $AA_1 \perp BC$ и $BB_1 \perp AC$, то углы $\angle CA_1H$ и $\angle CB_1H$ также являются прямыми. Поскольку эти углы опираются на отрезок $CH$, точки $C, A_1, H, B_1$ лежат на одной окружности с диаметром $CH$.

Точка $Y$ — середина отрезка $CH$, следовательно, $Y$ является центром этой второй окружности. Отрезки $YA_1$ и $YB_1$ являются радиусами этой окружности, поэтому $YA_1 = YB_1$. Таким образом, точка $Y$ также равноудалена от точек $A_1$ и $B_1$.

Мы доказали, что обе точки $X$ и $Y$ равноудалены от концов отрезка $A_1B_1$. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, есть его серединный перпендикуляр. Следовательно, прямая $XY$ является серединным перпендикуляром к отрезку $A_1B_1$.

Из этого следует, что прямая $XY$ перпендикулярна прямой $A_1B_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.