Номер 10.27, страница 80 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.27. Из произвольной точки M, которая принадлежит острому углу с вершиной A, но не принадлежит его сторонам, опущены перпендикуляры MP и MQ на стороны угла. Из точки A опущен перпендикуляр AK на отрезок PQ. Докажите, что $ \angle PAK = \angle MAQ $.

10.27. Из произвольной точки $M$, которая принадлежит острому углу с вершиной $A$, но не принадлежит его сторонам, опущены перпендикуляры $MP$ и $MQ$ на стороны угла. Из точки $A$ опущен перпендикуляр $AK$ на отрезок $PQ$. Докажите, что $\angle PAK = \angle MAQ$.

Рассмотрим четырехугольник $APMQ$. По условию задачи $MP$ и $MQ$ — перпендикуляры, опущенные из точки $M$ на стороны угла с вершиной $A$. Следовательно, $\angle APM = 90^\circ$ и $\angle AQM = 90^\circ$.

Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$. Тогда сумма противоположных углов $\angle PAQ$ и $\angle PMQ$ в четырехугольнике $APMQ$ равна $360^\circ - (\angle APM + \angle AQM) = 360^\circ - (90^\circ + 90^\circ) = 180^\circ$.

Поскольку сумма противоположных углов четырехугольника равна $180^\circ$, вокруг него можно описать окружность. Это означает, что точки $A, P, M, Q$ лежат на одной окружности.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. В окружности, описанной около $APMQ$, углы $\angle MAQ$ и $\angle MPQ$ опираются на одну и ту же дугу $MQ$. Следовательно, $\angle MAQ = \angle MPQ$.

По условию $AK \perp PQ$, поэтому треугольник $\triangle APK$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, откуда следует, что $\angle PAK = 90^\circ - \angle APQ$.

Также из условия $MP \perp AP$ следует, что $\angle APM = 90^\circ$. Этот угол можно представить как сумму углов $\angle APQ$ и $\angle MPQ$, то есть $\angle APQ + \angle MPQ = 90^\circ$. Отсюда получаем, что $\angle MPQ = 90^\circ - \angle APQ$.

Сравнивая полученные выражения для $\angle PAK$ и $\angle MPQ$, мы видим, что они равны: $\angle PAK = \angle MPQ$.

Так как ранее мы установили, что $\angle MAQ = \angle MPQ$, мы можем заключить, что $\angle PAK = \angle MAQ$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle PAK = \angle MAQ$ доказано.