Номер 10.20, страница 80 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.20. В прямоугольник $ABCD$ вписан равносторонний треугольник $APK$ так, что вершина $K$ лежит на стороне $BC$, а вершина $P$ — на стороне $CD$. Отрезок $KH$ — высота этого треугольника. Докажите, что треугольник $BHC$ равносторонний.

10.20. В прямоугольник $ABCD$ вписан равносторонний треугольник $APK$ так, что вершина $K$ лежит на стороне $BC$, а вершина $P$ — на стороне $CD$. Отрезок $KH$ — высота этого треугольника. Докажите, что треугольник $BHC$ равносторонний.

Для доказательства воспользуемся методом координат. Пусть прямоугольник ABCD расположен в системе координат так, что его вершины имеют следующие координаты: A(0, 0), B(w, 0), C(w, h), D(0, h), где w - ширина (длина стороны AB), а h - высота (длина стороны AD).

По условию, вершина K равностороннего треугольника APK лежит на стороне BC, а вершина P — на стороне CD.

• Сторона BC — это отрезок прямой $x = w$ при $0 \le y \le h$. Координаты точки K будут $(w, y_k)$ для некоторого $y_k \in [0, h]$.
• Сторона CD — это отрезок прямой $y = h$ при $0 \le x \le w$. Координаты точки P будут $(x_p, h)$ для некоторого $x_p \in [0, w]$.

Таким образом, имеем координаты вершин треугольника APK: A(0, 0), P($x_p, h$), K($w, y_k$).

По условию, отрезок KH — высота треугольника APK. В равностороннем треугольнике высота является также и медианой. Следовательно, точка H является серединой стороны AP. Найдем координаты точки H: $H = \left(\frac{0+x_p}{2}, \frac{0+h}{2}\right) = \left(\frac{x_p}{2}, \frac{h}{2}\right)$.

Теперь рассмотрим треугольник BHC, равносторонним который нам и нужно доказать. Его вершины имеют координаты: B(w, 0), H($x_p/2, h/2$), C(w, h).

1. Докажем, что треугольник BHC является равнобедренным.

Для этого найдем квадраты длин его сторон HB и HC. $HB^2 = \left(w - \frac{x_p}{2}\right)^2 + \left(0 - \frac{h}{2}\right)^2 = \left(w - \frac{x_p}{2}\right)^2 + \frac{h^2}{4}$. $HC^2 = \left(w - \frac{x_p}{2}\right)^2 + \left(h - \frac{h}{2}\right)^2 = \left(w - \frac{x_p}{2}\right)^2 + \frac{h^2}{4}$.

Поскольку $HB^2 = HC^2$, то и $HB = HC$. Таким образом, треугольник BHC является равнобедренным с основанием BC.

2. Докажем, что треугольник BHC является равносторонним.

Для того чтобы равнобедренный треугольник BHC был равносторонним, необходимо, чтобы его боковая сторона равнялась основанию: $HC = BC$. Найдем квадрат длины основания BC: $BC^2 = (w-w)^2 + (h-0)^2 = h^2$.

Приравняем квадраты длин сторон $HC$ и $BC$: $HC^2 = BC^2$ $\left(w - \frac{x_p}{2}\right)^2 + \frac{h^2}{4} = h^2$ $\left(w - \frac{x_p}{2}\right)^2 = \frac{3h^2}{4}$ $w - \frac{x_p}{2} = \pm \frac{\sqrt{3}h}{2}$ $2w - x_p = \pm \sqrt{3}h$.

Поскольку $0 \le x_p \le w$, то $2w - x_p \ge 2w - w = w > 0$. Так как $h > 0$, правая часть также должна быть положительной. Следовательно, мы должны выбрать знак плюс: $2w - x_p = \sqrt{3}h$ (1)

Теперь нам нужно доказать, что это соотношение действительно выполняется. Для этого используем условие, что треугольник APK — равносторонний. Это значит, что $AP^2 = AK^2 = PK^2$. Пусть $s$ — длина стороны треугольника APK. $s^2 = AP^2 = (x_p-0)^2 + (h-0)^2 = x_p^2 + h^2$. $s^2 = AK^2 = (w-0)^2 + (y_k-0)^2 = w^2 + y_k^2$. $s^2 = PK^2 = (w-x_p)^2 + (h-y_k)^2$.

Распишем третье равенство: $s^2 = w^2 - 2wx_p + x_p^2 + h^2 - 2hy_k + y_k^2$. Заменим $(x_p^2 + h^2)$ на $s^2$ и $(w^2 + y_k^2)$ на $s^2$: $s^2 = (w^2 + y_k^2) + (x_p^2 + h^2) - 2wx_p - 2hy_k$ $s^2 = s^2 + s^2 - 2wx_p - 2hy_k$ $s^2 = 2wx_p + 2hy_k$.

Из равенства $s^2 = w^2 + y_k^2$ выразим $y_k$: $y_k = \sqrt{s^2 - w^2}$. Подставим это в полученное соотношение: $s^2 = 2wx_p + 2h\sqrt{s^2 - w^2}$. Теперь заменим $s^2$ на $x_p^2 + h^2$: $x_p^2 + h^2 = 2wx_p + 2h\sqrt{x_p^2 + h^2 - w^2}$. $x_p^2 + h^2 - 2wx_p = 2h\sqrt{x_p^2 + h^2 - w^2}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $(x_p^2 + h^2 - 2wx_p)^2 = 4h^2(x_p^2 + h^2 - w^2)$ (2)

Это тождество, которое связывает параметры $w, h, x_p$ для любой такой конфигурации. Теперь проверим, удовлетворяет ли этому тождеству наше условие (1) $2w - x_p = \sqrt{3}h$, или, что то же самое, $x_p = 2w - \sqrt{3}h$.

Подставим $x_p = 2w - \sqrt{3}h$ в левую часть тождества (2): $(x_p(x_p - 2w) + h^2)^2 = ((2w - \sqrt{3}h)(-\sqrt{3}h) + h^2)^2 = (-2w\sqrt{3}h + 3h^2 + h^2)^2 = (4h^2 - 2w\sqrt{3}h)^2 = 4h^2(2h - w\sqrt{3})^2 = 4h^2(4h^2 - 4w\sqrt{3}h + 3w^2)$.

Теперь подставим $x_p = 2w - \sqrt{3}h$ в правую часть тождества (2): $4h^2(x_p^2 + h^2 - w^2) = 4h^2((2w - \sqrt{3}h)^2 + h^2 - w^2)$ $= 4h^2(4w^2 - 4w\sqrt{3}h + 3h^2 + h^2 - w^2)$ $= 4h^2(3w^2 + 4h^2 - 4w\sqrt{3}h)$.

Левая и правая части совпали. Это означает, что условие (1), которое является условием равносторонности треугольника BHC, выполняется всегда, когда в прямоугольник ABCD вписан равносторонний треугольник APK указанным образом.

Следовательно, треугольник BHC является равносторонним.
Ответ: Что и требовалось доказать.