Номер 10.15, страница 79 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.15. В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $60^{\circ}$, отрезки $AM$ и $CN$ — его высоты, точка $Q$ — середина стороны $AC$. Докажите, что треугольник $MNQ$ равносторонний.

10.15. В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $60^\circ$, отрезки $AM$ и $CN$ – его высоты, точка $Q$ – середина стороны $AC$. Докажите, что треугольник $MNQ$ равносторонний.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC$, который образован высотой $AM$ ($AM \perp BC$, следовательно $\angle AMC = 90^\circ$). В этом треугольнике отрезок $MQ$ соединяет вершину $M$ с серединой гипотенузы $AC$ (точкой $Q$). Таким образом, $MQ$ является медианой, проведенной к гипотенузе. По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, ее длина равна половине длины гипотенузы. Следовательно: $MQ = \frac{1}{2}AC$.

Аналогично, рассмотрим прямоугольный треугольник $ANC$, который образован высотой $CN$ ($CN \perp AB$, следовательно $\angle CNA = 90^\circ$). В этом треугольнике отрезок $NQ$ является медианой, проведенной к гипотенузе $AC$. По тому же свойству: $NQ = \frac{1}{2}AC$.

Из полученных равенств следует, что $MQ = NQ$. Это означает, что треугольник $MNQ$ является равнобедренным с основанием $MN$.

Теперь найдем длину стороны $MN$. Для этого рассмотрим треугольники $\triangle BNM$ и $\triangle BCA$.

В прямоугольном треугольнике $AMB$ ($\angle AMB = 90^\circ$), катет $BM$ прилежит к углу $B$. Из определения косинуса имеем $BM = AB \cdot \cos(\angle B)$. По условию задачи $\angle B = 60^\circ$, а $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. Таким образом, $BM = \frac{1}{2}AB$.

В прямоугольном треугольнике $CNB$ ($\angle CNB = 90^\circ$), катет $BN$ прилежит к углу $B$. Аналогично, $BN = BC \cdot \cos(\angle B)$, что дает $BN = \frac{1}{2}BC$.

Теперь сравним треугольники $\triangle BNM$ и $\triangle BCA$. У них есть общий угол $\angle B$, а стороны, образующие этот угол, пропорциональны: $\frac{BM}{AB} = \frac{\frac{1}{2}AB}{AB} = \frac{1}{2}$
$\frac{BN}{BC} = \frac{\frac{1}{2}BC}{BC} = \frac{1}{2}$

Так как $\frac{BM}{AB} = \frac{BN}{BC}$ и угол $\angle B$ между этими сторонами является общим, то по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), $\triangle BNM \sim \triangle BCA$. Коэффициент подобия $k = \frac{1}{2}$.

Из подобия треугольников следует, что отношение их третьих сторон также равно коэффициенту подобия: $\frac{MN}{AC} = k = \frac{1}{2}$, откуда $MN = \frac{1}{2}AC$.

Собирая все результаты вместе, мы получаем, что все три стороны треугольника $MNQ$ равны: $MQ = NQ = MN = \frac{1}{2}AC$.

Следовательно, треугольник $MNQ$ является равносторонним, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано; треугольник $MNQ$ является равносторонним.