Номер 10.22, страница 80 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.22. В треугольнике $ABC$ отрезки $AA_1$ и $CC_1$ — высоты. Постройте треугольник $ABC$ по точкам $A_1$, $C_1$ и прямой, содержащей сторону $AC$.

10.22. В треугольнике $ABC$ отрезки $AA_1$ и $CC_1$ — высоты. Постройте треугольник $ABC$ по точкам $A_1$, $C_1$ и прямой, содержащей сторону $AC$.

Пусть $AA_1$ и $CC_1$ — высоты в треугольнике $ABC$. По определению высоты, $AA_1 \perp BC$ и $CC_1 \perp AB$. Из этого следует, что $\angle AA_1C = 90^\circ$ и $\angle AC_1C = 90^\circ$.
Рассмотрим точки $A, C, A_1, C_1$. Поскольку углы $\angle AA_1C$ и $\angle AC_1C$ прямые, они опираются на отрезок $AC$ как на диаметр. Это означает, что все четыре точки $A, C, A_1, C_1$ лежат на одной окружности, для которой $AC$ является диаметром.
Центр этой окружности, назовем его $O$, является серединой отрезка $AC$. Так как $A$ и $C$ лежат на данной прямой $l$, то и точка $O$ лежит на этой прямой.
С другой стороны, так как точки $A_1$ и $C_1$ также лежат на этой окружности, они равноудалены от ее центра $O$. Следовательно, точка $O$ должна лежать на серединном перпендикуляре к отрезку $A_1C_1$.
Таким образом, мы можем найти положение середины стороны $AC$ — точки $O$ — как пересечение прямой $l$ и серединного перпендикуляра к отрезку $A_1C_1$. Зная центр $O$ и точки $A_1, C_1$ на окружности, мы можем определить ее радиус ($R = OA_1$) и найти вершины $A$ и $C$ как точки пересечения этой окружности с прямой $l$.
После нахождения вершин $A$ и $C$ вершину $B$ можно однозначно определить. Точка $C_1$ является основанием высоты из $C$ на сторону $AB$, значит, $C_1$ лежит на прямой $AB$. Следовательно, прямая, содержащая сторону $AB$, — это прямая, проходящая через точки $A$ и $C_1$. Аналогично, прямая, содержащая сторону $BC$, — это прямая, проходящая через точки $C$ и $A_1$. Вершина $B$ является точкой пересечения этих двух прямых.

Исходя из проведенного анализа, алгоритм построения следующий:

1. Соединяем данные точки $A_1$ и $C_1$ отрезком.
2. Строим серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $A_1C_1$.
3. Находим точку $O$ как точку пересечения прямой $m$ и данной прямой $l$.
4. Строим окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом, равным длине отрезка $OA_1$.
5. Находим вершины $A$ и $C$ как точки пересечения окружности $\omega$ с прямой $l$.
6. Проводим прямую через точки $A$ и $C_1$ (это прямая $AB$).
7. Проводим прямую через точки $C$ и $A_1$ (это прямая $BC$).
8. Точка пересечения этих двух прямых является вершиной $B$.
9. Соединяем вершины $A$, $B$ и $C$, получая искомый треугольник $ABC$.

Докажем, что построенный треугольник $ABC$ является искомым.
По построению, его вершины $A$ и $C$ лежат на прямой $l$.
Точки $A, C, A_1, C_1$ лежат на окружности $\omega$, где $AC$ — ее диаметр (так как центр $O$ лежит на прямой $AC$, а точки $A$ и $C$ лежат на окружности).
Рассмотрим угол $\angle AC_1C$. Он является вписанным в окружность $\omega$ и опирается на диаметр $AC$, следовательно, $\angle AC_1C = 90^\circ$. Это означает, что $CC_1 \perp AC_1$. Поскольку по построению прямая $AB$ совпадает с прямой $AC_1$, то $CC_1 \perp AB$. Таким образом, $CC_1$ — высота треугольника $ABC$.
Аналогично, вписанный угол $\angle AA_1C$ опирается на диаметр $AC$, поэтому $\angle AA_1C = 90^\circ$. Это означает, что $AA_1 \perp CA_1$. Поскольку по построению прямая $BC$ совпадает с прямой $CA_1$, то $AA_1 \perp BC$. Таким образом, $AA_1$ — высота треугольника $ABC$.
Все условия задачи выполнены, следовательно, построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Рассмотрим условия, при которых задача имеет решение.
1. Если точки $A_1$ и $C_1$ совпадают, то серединный перпендикуляр не определен, и задача не имеет однозначного решения.
2. Если прямая $l$ параллельна серединному перпендикуляру $m$ к отрезку $A_1C_1$ (то есть $l \perp A_1C_1$) и не совпадает с ним, то точка $O$ не существует, и решения нет.
3. Если прямые $AC_1$ и $CA_1$ параллельны, то вершина $B$ не существует. Это может произойти только в вырожденных случаях.
Во всех остальных общих случаях задача имеет единственное решение (с точностью до выбора, какая из точек пересечения $\omega$ и $l$ будет $A$, а какая $C$, что не влияет на геометрию конечного треугольника).

Ответ: План построения: 1) найти середину $O$ стороны $AC$ как пересечение данной прямой $l$ и серединного перпендикуляра к отрезку $A_1C_1$; 2) построить окружность с центром $O$ и радиусом $OA_1$ и найти вершины $A$ и $C$ как ее пересечения с прямой $l$; 3) найти вершину $B$ как пересечение прямых $AC_1$ и $CA_1$.