Номер 10.9, страница 78 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.9. Из произвольной точки $O$, которая принадлежит острому углу $A$, но не принадлежит его сторонам, опущены перпендикуляры $OB$ и $OC$ на стороны угла. Докажите, что $\angle OAB = \angle OCB$.

10.9. Из произвольной точки $O$, которая принадлежит острому углу $A$, но не принадлежит его сторонам, опущены перпендикуляры $OB$ и $OC$ на стороны угла. Докажите, что $\angle OAB = \angle OCB$.

Дано: острый угол с вершиной в точке A. Точка O лежит внутри угла. $OB$ и $OC$ — перпендикуляры, опущенные из точки O на стороны угла. Точки B и C лежат на сторонах угла.

Доказать: $\angle OAB = \angle OCB$.

Доказательство:

Рассмотрим четыре точки: A, B, O, C.

По условию, $OB$ является перпендикуляром к стороне угла, проходящей через точку B. Это означает, что треугольник $\triangle ABO$ является прямоугольным, и $\angle ABO = 90^{\circ}$.

Аналогично, $OC$ является перпендикуляром к стороне угла, проходящей через точку C. Это означает, что треугольник $\triangle ACO$ является прямоугольным, и $\angle ACO = 90^{\circ}$.

Оба прямоугольных треугольника, $\triangle ABO$ и $\triangle ACO$, имеют общую гипотенузу $AO$.

Согласно свойству геометрического места точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом, все такие точки лежат на окружности, диаметром которой является этот отрезок.

Поскольку из точки B отрезок $AO$ виден под прямым углом ($\angle ABO = 90^{\circ}$), точка B лежит на окружности с диаметром $AO$.

Поскольку из точки C отрезок $AO$ виден под прямым углом ($\angle ACO = 90^{\circ}$), точка C также лежит на окружности с диаметром $AO$.

Таким образом, точки A, B, O, C лежат на одной и той же окружности (описанной вокруг четырехугольника ABOC).

В этой окружности углы $\angle OAB$ и $\angle OCB$ являются вписанными.

Вписанный угол $\angle OAB$ опирается на дугу $OB$.

Вписанный угол $\angle OCB$ также опирается на дугу $OB$.

По теореме о вписанных углах, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следовательно:

$\angle OAB = \angle OCB$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle OAB = \angle OCB$ доказано.