Номер 10.4, страница 78 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.4. Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб является квадратом.

10.4. Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб является квадратом.

Пусть данный ромб — это четырёхугольник $ABCD$. По определению ромба, все его стороны равны ($AB = BC = CD = DA$). Также ромб является параллелограммом, поэтому его противоположные углы равны:
$\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$.

По условию, около этого ромба можно описать окружность. Это означает, что ромб $ABCD$ является вписанным (или циклическим) четырёхугольником.

Основное свойство вписанного четырёхугольника заключается в том, что сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Для ромба $ABCD$ это означает:
$\angle A + \angle C = 180^\circ$
$\angle B + \angle D = 180^\circ$

Теперь воспользуемся свойством равенства противоположных углов ромба. Подставим $\angle A$ вместо $\angle C$ в первое уравнение:
$\angle A + \angle A = 180^\circ$
$2\angle A = 180^\circ$
$\angle A = 90^\circ$

Поскольку $\angle C = \angle A$, то $\angle C$ также равен $90^\circ$.

Сумма соседних углов в ромбе (как и в любом параллелограмме) равна $180^\circ$. Поэтому $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Так как $\angle A = 90^\circ$, то:
$90^\circ + \angle B = 180^\circ$
$\angle B = 90^\circ$

Поскольку $\angle D = \angle B$, то $\angle D$ также равен $90^\circ$.

В результате мы установили, что все углы ромба $ABCD$ равны $90^\circ$. Ромб, у которого все углы прямые, по определению является квадратом.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.