Номер 10.31, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.31. В треугольнике $ABC$ $\angle BAC = 50^\circ$, $\angle BCA = 70^\circ$. На сторонах $AB$ и $BC$ соответственно отметили точки $D$ и $F$ так, что $\angle DCA = \angle FAC = 30^\circ$. Найдите угол $CDF$.

10.31. В треугольнике $ABC$ $\angle BAC = 50^\circ$, $\angle BCA = 70^\circ$. На сторонах $AB$ и $BC$ соответственно отметили точки $D$ и $F$ так, что $\angle DCA = \angle FAC = 30^\circ$. Найдите угол $CDF$.

Для начала найдем все углы в треугольнике $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Дано: $\angle BAC = 50^\circ$, $\angle BCA = 70^\circ$. Тогда $\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle BCA = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ$.

Теперь найдем углы, связанные с точками $D$ и $F$. По условию $\angle FAC = 30^\circ$ и $\angle DCA = 30^\circ$. $\angle BAF = \angle BAC - \angle FAC = 50^\circ - 30^\circ = 20^\circ$. $\angle BCD = \angle BCA - \angle DCA = 70^\circ - 30^\circ = 40^\circ$.

Рассмотрим треугольники $ADC$ и $AFC$. Найдем углы в этих треугольниках: В $\triangle ADC$: $\angle DAC = \angle BAC = 50^\circ$. $\angle DCA = 30^\circ$. $\angle ADC = 180^\circ - 50^\circ - 30^\circ = 100^\circ$.

В $\triangle AFC$: $\angle FAC = 30^\circ$. $\angle FCA = \angle BCA = 70^\circ$. $\angle AFC = 180^\circ - 30^\circ - 70^\circ = 80^\circ$.

Для нахождения угла $CDF$ воспользуемся теоремой синусов для треугольников $ADC$, $AFC$ и $CDF$. Пусть сторона $AC$ имеет длину $b$.

Применим теорему синусов к $\triangle ADC$: $\frac{DC}{\sin(\angle DAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)}$ $\frac{DC}{\sin 50^\circ} = \frac{b}{\sin 100^\circ}$ $DC = b \cdot \frac{\sin 50^\circ}{\sin 100^\circ}$

Применим теорему синусов к $\triangle AFC$: $\frac{FC}{\sin(\angle FAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle AFC)}$ $\frac{FC}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 80^\circ}$ $FC = b \cdot \frac{\sin 30^\circ}{\sin 80^\circ}$

Поскольку $\sin 100^\circ = \sin(180^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ$, мы можем найти отношение сторон $FC$ и $DC$: $\frac{FC}{DC} = \frac{b \cdot \frac{\sin 30^\circ}{\sin 80^\circ}}{b \cdot \frac{\sin 50^\circ}{\sin 100^\circ}} = \frac{\frac{\sin 30^\circ}{\sin 80^\circ}}{\frac{\sin 50^\circ}{\sin 80^\circ}} = \frac{\sin 30^\circ}{\sin 50^\circ}$

Теперь рассмотрим $\triangle CDF$. Мы знаем угол $\angle DCF = \angle BCD = 40^\circ$. Обозначим искомый угол $\angle CDF = x$. Тогда третий угол треугольника, $\angle DFC$, равен $180^\circ - 40^\circ - x = 140^\circ - x$.

Применим теорему синусов к $\triangle CDF$: $\frac{FC}{\sin(\angle CDF)} = \frac{DC}{\sin(\angle DFC)}$ $\frac{FC}{DC} = \frac{\sin x}{\sin(140^\circ - x)}$

Приравняем два полученных выражения для отношения $\frac{FC}{DC}$: $\frac{\sin x}{\sin(140^\circ - x)} = \frac{\sin 30^\circ}{\sin 50^\circ}$ $\sin x \cdot \sin 50^\circ = \sin(140^\circ - x) \cdot \sin 30^\circ$

Используем известные тригонометрические тождества: $\sin 30^\circ = 0.5$, $\sin 50^\circ = \cos 40^\circ$, и формулу синуса разности $\sin(140^\circ - x) = \sin 140^\circ \cos x - \cos 140^\circ \sin x$. Так как $\sin 140^\circ = \sin(180^\circ-40^\circ) = \sin 40^\circ$ и $\cos 140^\circ = \cos(180^\circ-40^\circ) = -\cos 40^\circ$, получаем: $\sin x \cdot \cos 40^\circ = (\sin 40^\circ \cos x + \cos 40^\circ \sin x) \cdot 0.5$ $2 \sin x \cos 40^\circ = \sin 40^\circ \cos x + \cos 40^\circ \sin x$ $2 \sin x \cos 40^\circ - \cos 40^\circ \sin x = \sin 40^\circ \cos x$ $\sin x \cos 40^\circ = \sin 40^\circ \cos x$

Разделим обе части уравнения на $\cos x \cos 40^\circ$ (поскольку ни один из этих углов не равен $90^\circ$ в контексте задачи): $\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ}$ $\tan x = \tan 40^\circ$ Отсюда следует, что $x = 40^\circ$.

Таким образом, угол $CDF$ равен $40^\circ$.

Ответ: $40^\circ$.