Номер 10.38, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.38. Дан квадрат $ABCD$. Точки $P$ и $Q$ лежат соответственно на сторонах $AB$ и $BC$, причём $BP = BQ$. Пусть точка $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на отрезок $PC$. Найдите угол $DHQ$.

10.38. Дан квадрат $ABCD$. Точки $P$ и $Q$ лежат соответственно на сторонах $AB$ и $BC$, причём $BP = BQ$. Пусть точка $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на отрезок $PC$. Найдите угол $DHQ$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат.

1. Введем систему координат. Поместим вершину B квадрата ABCD в начало координат (0, 0). Направим ось Ox вдоль стороны BC, а ось Oy – вдоль стороны BA. Пусть сторона квадрата равна a. Тогда координаты вершин будут следующими:

• B = (0, 0)
• A = (0, a)
• C = (a, 0)
• D = (a, a)

2. Определим координаты точек P и Q.

• Точка P лежит на стороне AB (оси Oy), поэтому ее координаты P = (0, y_P).
• Точка Q лежит на стороне BC (оси Ox), поэтому ее координаты Q = (x_Q, 0).

По условию BP = BQ. Пусть эта длина равна b.

• BP – это расстояние от B(0, 0) до P(0, y_P), которое равно y_P. Итак, y_P = b.
• BQ – это расстояние от B(0, 0) до Q(x_Q, 0), которое равно x_Q. Итак, x_Q = b.

Следовательно, координаты точек P и Q: P(0, b) и Q(b, 0).

3. Найдем координаты точки H.

Точка H – основание перпендикуляра, опущенного из точки B(0, 0) на отрезок PC. Это означает, что H является точкой пересечения прямой PC и прямой BH, перпендикулярной PC.

• Найдем уравнение прямой PC, проходящей через точки P(0, b) и C(a, 0). Угловой коэффициент k_PC этой прямой равен:
  $k_{PC} = \frac{0 - b}{a - 0} = -\frac{b}{a}$
  Уравнение прямой PC имеет вид $y - b = -\frac{b}{a}(x - 0)$, или $y = -\frac{b}{a}x + b$.
• Прямая BH проходит через начало координат B(0, 0) и перпендикулярна прямой PC. Ее угловой коэффициент k_BH равен:
  $k_{BH} = -\frac{1}{k_{PC}} = -\frac{1}{-b/a} = \frac{a}{b}$
  Уравнение прямой BH: $y = \frac{a}{b}x$.
• Найдем точку пересечения H(x_H, y_H), решив систему уравнений:
  $\left\{ \begin{array}{l} y = -\frac{b}{a}x + b \\ y = \frac{a}{b}x \end{array} \right.$
  Приравняем правые части:
  $\frac{a}{b}x = -\frac{b}{a}x + b$
  $(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})x = b$
  $\frac{a^2 + b^2}{ab}x = b$
  $x_H = \frac{ab^2}{a^2 + b^2}$
  Теперь найдем y_H:
  $y_H = \frac{a}{b}x_H = \frac{a}{b} \cdot \frac{ab^2}{a^2 + b^2} = \frac{a^2b}{a^2 + b^2}$
  Таким образом, координаты точки $H = \left(\frac{ab^2}{a^2 + b^2}, \frac{a^2b}{a^2 + b^2}\right)$.

4. Найдем искомый угол DHQ.

Для этого воспользуемся теоремой, обратной теореме Пифагора. Найдем квадраты длин сторон треугольника DHQ, используя координаты точек $D(a, a)$, $H(x_H, y_H)$ и $Q(b, 0)$.

• Найдем DQ²:
  $DQ^2 = (a - b)^2 + (a - 0)^2 = a^2 - 2ab + b^2 + a^2 = 2a^2 - 2ab + b^2$
• Найдем DH²:
  $DH^2 = (a - x_H)^2 + (a - y_H)^2 = \left(a - \frac{ab^2}{a^2 + b^2}\right)^2 + \left(a - \frac{a^2b}{a^2 + b^2}\right)^2$
  $= \left(\frac{a(a^2 + b^2) - ab^2}{a^2 + b^2}\right)^2 + \left(\frac{a(a^2 + b^2) - a^2b}{a^2 + b^2}\right)^2$
  $= \left(\frac{a^3 + ab^2 - ab^2}{a^2 + b^2}\right)^2 + \left(\frac{a^3 + ab^2 - a^2b}{a^2 + b^2}\right)^2$
  $= \frac{a^6}{(a^2 + b^2)^2} + \frac{a^2(a^2 - ab + b^2)^2}{(a^2 + b^2)^2}$
  (Этот путь сложен, вернемся к раскрытию скобок)
  $DH^2 = (a - x_H)^2 + (a - y_H)^2 = a^2 - 2ax_H + x_H^2 + a^2 - 2ay_H + y_H^2$
  $DH^2 = 2a^2 - 2a(x_H + y_H) + (x_H^2 + y_H^2)$
• Найдем HQ²:
  $HQ^2 = (b - x_H)^2 + (0 - y_H)^2 = b^2 - 2bx_H + x_H^2 + y_H^2$
  $HQ^2 = b^2 - 2bx_H + (x_H^2 + y_H^2)$

Теперь вычислим сумму DH² + HQ²:

$DH^2 + HQ^2 = (2a^2 - 2a(x_H + y_H) + x_H^2 + y_H^2) + (b^2 - 2bx_H + x_H^2 + y_H^2)$
$DH^2 + HQ^2 = 2a^2 + b^2 - 2a(x_H + y_H) - 2bx_H + 2(x_H^2 + y_H^2)$

Вычислим вспомогательные выражения:

• $x_H + y_H = \frac{ab^2}{a^2 + b^2} + \frac{a^2b}{a^2 + b^2} = \frac{ab(b+a)}{a^2 + b^2}$
• $x_H^2 + y_H^2 = \left(\frac{ab^2}{a^2 + b^2}\right)^2 + \left(\frac{a^2b}{a^2 + b^2}\right)^2 = \frac{a^2b^4 + a^4b^2}{(a^2 + b^2)^2} = \frac{a^2b^2(b^2 + a^2)}{(a^2 + b^2)^2} = \frac{a^2b^2}{a^2 + b^2}$

Подставим эти выражения в сумму квадратов:

$DH^2 + HQ^2 = 2a^2 + b^2 - 2a\left(\frac{ab(a+b)}{a^2 + b^2}\right) - 2b\left(\frac{ab^2}{a^2 + b^2}\right) + 2\left(\frac{a^2b^2}{a^2 + b^2}\right)$
$= 2a^2 + b^2 - \frac{2a^2b(a+b) + 2ab^3 - 2a^2b^2}{a^2 + b^2}$
$= 2a^2 + b^2 - \frac{2a^3b + 2a^2b^2 + 2ab^3 - 2a^2b^2}{a^2 + b^2}$
$= 2a^2 + b^2 - \frac{2a^3b + 2ab^3}{a^2 + b^2}$
$= 2a^2 + b^2 - \frac{2ab(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2}$
$= 2a^2 + b^2 - 2ab$

5. Сравним DH² + HQ² и DQ².

$DH^2 + HQ^2 = 2a^2 - 2ab + b^2$
$DQ^2 = 2a^2 - 2ab + b^2$

Так как $DH^2 + HQ^2 = DQ^2$, то по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник DHQ является прямоугольным, а угол DHQ – прямым.

Ответ: $90^\circ$.