Номер 11.5, страница 85 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.5. Можно ли вписать окружность в параллелограмм, который не является ромбом?

11.5. Можно ли вписать окружность в параллелограмм, который не является ромбом?

Для того чтобы в выпуклый четырёхугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противолежащих сторон были равны. Это свойство также известно как теорема Пито.

Рассмотрим параллелограмм. Пусть длины его смежных сторон равны $a$ и $b$. Поскольку у параллелограмма противолежащие стороны равны, то две его стороны имеют длину $a$, а две другие — длину $b$.

Чтобы в этот параллелограмм можно было вписать окружность, должно выполняться условие равенства сумм противолежащих сторон:

$a + a = b + b$

Упростив это выражение, получаем:

$2a = 2b$

$a = b$

Данное равенство означает, что смежные стороны параллелограмма должны быть равны. Параллелограмм, у которого все стороны равны, по определению является ромбом.

Таким образом, окружность можно вписать в параллелограмм только в том случае, если он является ромбом. Если же параллелограмм не является ромбом, то его смежные стороны не равны ($a \neq b$), и условие для вписанной окружности не выполняется.

Ответ: Нельзя.