Номер 11.8, страница 85 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.8. Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник является квадратом.

11.8. Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник является квадратом.

11.8.

Пусть дан прямоугольник со смежными сторонами, длины которых равны $a$ и $b$. По условию, в этот прямоугольник можно вписать окружность. Это означает, что существует окружность, которая касается всех четырех сторон прямоугольника.

Обозначим радиус этой вписанной окружности как $r$.

Рассмотрим первую пару параллельных сторон прямоугольника. Расстояние между ними равно длине одной из смежных сторон, например, $a$. Поскольку окружность касается обеих этих сторон, расстояние между ними должно быть равно диаметру окружности. Диаметр окружности равен $2r$. Таким образом, мы получаем первое равенство: $a = 2r$.

Теперь рассмотрим вторую пару параллельных сторон. Расстояние между ними равно длине другой смежной стороны, то есть $b$. Так как окружность касается и этих двух сторон, расстояние между ними также равно диаметру окружности, $2r$. Отсюда следует второе равенство: $b = 2r$.

Сопоставляя два полученных равенства, $a = 2r$ и $b = 2r$, мы видим, что $a = b$.

Прямоугольник, у которого смежные стороны равны, по определению является квадратом. Следовательно, если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник — квадрат. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.