Номер 11.13, страница 86 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.13. Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности с центром $O$.

Докажите, что $\angle AOB + \angle COD = 180^\circ$.

11.13. Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности с центром $O$.

Докажите, что $\angle AOB + \angle COD = 180^\circ$.

Пусть $ABCD$ — четырёхугольник, описанный около окружности с центром в точке $O$.

По свойству окружности, вписанной в угол, её центр лежит на биссектрисе этого угла. Поскольку окружность с центром $O$ вписана в четырёхугольник $ABCD$, она касается всех его сторон. Это означает, что точка $O$ является точкой пересечения биссектрис всех внутренних углов четырёхугольника.

Следовательно, отрезки $AO$, $BO$, $CO$ и $DO$ являются биссектрисами углов $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$ и $\angle D$ соответственно. Таким образом, мы имеем следующие равенства для углов:

$\angle OAB = \frac{1}{2}\angle A$

$\angle OBA = \frac{1}{2}\angle B$

$\angle OCD = \frac{1}{2}\angle C$

$\angle ODC = \frac{1}{2}\angle D$

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$.

В треугольнике $\triangle AOB$:

$\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)$

В треугольнике $\triangle COD$:

$\angle COD = 180^\circ - (\angle OCD + \angle ODC) = 180^\circ - (\frac{1}{2}\angle C + \frac{1}{2}\angle D) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)$

Теперь найдём сумму искомых углов $\angle AOB$ и $\angle COD$:

$\angle AOB + \angle COD = \left(180^\circ - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)\right) + \left(180^\circ - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)\right)$

$\angle AOB + \angle COD = 360^\circ - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D)$

Сумма внутренних углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$, то есть $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$.

Подставим это значение в наше выражение:

$\angle AOB + \angle COD = 360^\circ - \frac{1}{2}(360^\circ) = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$.

Таким образом, мы доказали, что $\angle AOB + \angle COD = 180^\circ$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, $\angle AOB + \angle COD = 180^\circ$.