Номер 11.10, страница 86 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.10. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторону на отрезки длиной 3 см и 12 см. Найдите радиус вписанной окружности, если периметр трапеции равен 54 см.

11.10. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторону на отрезки длиной 3 см и 12 см. Найдите радиус вписанной окружности, если периметр трапеции равен 54 см.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой углы $A$ и $B$ прямые. $AB$ — меньшая боковая сторона и высота трапеции, $CD$ — большая боковая сторона. В трапецию вписана окружность с радиусом $r$.

1. Нахождение длин сторон трапеции

По условию, точка касания $K$ делит большую боковую сторону $CD$ на отрезки длиной 3 см и 12 см. Пусть $CK = 3$ см и $KD = 12$ см. Тогда длина всей стороны $CD$ равна:

$CD = CK + KD = 3 + 12 = 15$ см.

Используем свойство касательных, проведенных из одной вершины к вписанной окружности: отрезки касательных от вершины до точек касания равны. Обозначим точки касания на основаниях $BC$ и $AD$ как $M$ и $N$ соответственно. Тогда:

• Отрезок от вершины $C$ до точки касания на основании $BC$ равен $CK$, то есть $CM = 3$ см.
• Отрезок от вершины $D$ до точки касания на основании $AD$ равен $DK$, то есть $DN = 12$ см.

В прямоугольной трапеции, в которую можно вписать окружность, высота равна диаметру этой окружности. Высотой является сторона $AB$, следовательно, $AB = 2r$.

Отрезки от вершин прямых углов ($A$ и $B$) до точек касания на прилежащих сторонах равны радиусу окружности. Таким образом, мы можем выразить длины оснований через радиус $r$:

• Верхнее основание: $BC = r + CM = r + 3$ см.
• Нижнее основание: $AD = r + DN = r + 12$ см.

2. Нахождение радиуса через периметр

Периметр трапеции $P$ — это сумма длин всех ее сторон. По условию, $P = 54$ см.

$P = AB + BC + CD + AD$

Подставим известные и выраженные через $r$ значения сторон в формулу периметра:

$54 = 2r + (r + 3) + 15 + (r + 12)$

Теперь решим это линейное уравнение:

$54 = (2r + r + r) + (3 + 15 + 12)$

$54 = 4r + 30$

$4r = 54 - 30$

$4r = 24$

$r = \frac{24}{4} = 6$ см.

Ответ: 6 см.