Номер 11.17, страница 86 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.17. Дан четырёхугольник $ABCD$. Известно, что окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ACD$, касаются. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ — описанный.

11.17. Дан четырёхугольник $ABCD$. Известно, что окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ACD$, касаются. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ — описанный.

Пусть четырёхугольник $ABCD$ разделён диагональю $AC$ на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ACD$. Обозначим окружность, вписанную в $\triangle ABC$, как $\omega_1$, а окружность, вписанную в $\triangle ACD$, как $\omega_2$.

По условию, окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ касаются. Так как они расположены в треугольниках, имеющих общую сторону $AC$, их точка касания должна лежать на этой общей стороне. Обозначим эту точку касания как $T$. Таким образом, обе окружности касаются отрезка $AC$ в одной и той же точке $T$.

Воспользуемся свойством вписанной в треугольник окружности: расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности со стороной, выходящей из этой вершины, равно разности полупериметра и стороны, противолежащей этой вершине.

Рассмотрим $\triangle ABC$. Пусть его стороны равны $AB$, $BC$, $AC$. Его полупериметр $p_1$ равен: $p_1 = \frac{AB + BC + AC}{2}$ Расстояние от вершины $A$ до точки касания $T$ на стороне $AC$ вычисляется по формуле (полупериметр минус противолежащая сторона $BC$): $AT = p_1 - BC = \frac{AB + BC + AC}{2} - BC = \frac{AB - BC + AC}{2}$

Теперь рассмотрим $\triangle ACD$. Его стороны равны $AC$, $CD$, $AD$. Его полупериметр $p_2$ равен: $p_2 = \frac{AC + CD + AD}{2}$ Расстояние от вершины $A$ до точки касания $T$ на стороне $AC$ вычисляется аналогично (полупериметр минус противолежащая сторона $CD$): $AT = p_2 - CD = \frac{AC + CD + AD}{2} - CD = \frac{AC - CD + AD}{2}$

Так как точка касания $T$ является общей для обеих окружностей, мы можем приравнять выражения для длины отрезка $AT$, полученные из обоих треугольников: $\frac{AB - BC + AC}{2} = \frac{AC - CD + AD}{2}$

Умножим обе части равенства на 2 и упростим: $AB - BC + AC = AC - CD + AD$ Вычтем $AC$ из обеих частей: $AB - BC = AD - CD$ Перенесём слагаемые: $AB + CD = BC + AD$

Полученное равенство $AB + CD = BC + AD$ является признаком описанного четырёхугольника (согласно теореме Пито). Четырёхугольник, у которого суммы длин противоположных сторон равны, является описанным, то есть в него можно вписать окружность.

Таким образом, доказано, что четырёхугольник $ABCD$ — описанный.

Ответ: Утверждение доказано.