Номер 12.2, страница 94 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.2. На рисунке 12.9 $A_1B_1 \parallel A_2B_2 \parallel A_3B_3$, $A_1A_2 = 9$ см, $A_2A_3 = 15$ см, $B_1B_2 = 6$ см. Найдите отрезок $B_2B_3$.

Рис. 12.9

12.2. На рисунке 12.9 $A_1B_1 || A_2B_2 || A_3B_3$, $A_1A_2 = 9$ см, $A_2A_3 = 15$ см, $B_1B_2 = 6$ см. Найдите отрезок $B_2B_3$.

Рис. 12.9

Решение:

По условию задачи даны три параллельные прямые $A_1B_1$, $A_2B_2$ и $A_3B_3$, которые пересечены двумя другими прямыми (трансверсалями). Одна трансверсаль проходит через точки $A_1$, $A_2$, $A_3$, а вторая — через точки $B_1$, $B_2$, $B_3$.

Для решения задачи применяется обобщенная теорема Фалеса (теорема о пропорциональных отрезках). Согласно этой теореме, если параллельные прямые отсекают на одной прямой пропорциональные отрезки, то они отсекают пропорциональные отрезки и на любой другой прямой. В нашем случае это означает, что отношение длин отрезков на одной трансверсали равно отношению длин соответствующих отрезков на другой.

Математически это можно записать в виде пропорции: $$ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3} $$

Из условия задачи нам известны следующие длины отрезков:
$A_1A_2 = 9$ см,
$A_2A_3 = 15$ см,
$B_1B_2 = 6$ см.

Подставим известные значения в пропорцию, чтобы найти неизвестный отрезок $B_2B_3$: $$ \frac{9}{15} = \frac{6}{B_2B_3} $$

Теперь решим полученное уравнение относительно $B_2B_3$. Можно использовать свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $$ 9 \cdot B_2B_3 = 15 \cdot 6 $$ $$ 9 \cdot B_2B_3 = 90 $$ $$ B_2B_3 = \frac{90}{9} $$ $$ B_2B_3 = 10 \text{ см} $$

Таким образом, длина искомого отрезка $B_2B_3$ равна 10 см.

Ответ: 10 см.