Номер 12.6, страница 95 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.6. Расстояние от середины хорды $BC$ до диаметра $AC$ равно $3$ см, $\angle BAC = 30^\circ$. Найдите хорду $AB$.

12.6. Расстояние от середины хорды $BC$ до диаметра $AC$ равно 3 см, $\angle BAC = 30^\circ$. Найдите хорду $AB$.

Пусть задана окружность, в которой AC является диаметром, а AB и BC – хордами. Поскольку вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$, треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине B ($\angle ABC = 90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике ABC сумма острых углов составляет $90^\circ$. Зная, что $\angle BAC = 30^\circ$, мы можем найти другой острый угол, $\angle BCA$:
$\angle BCA = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Пусть M – середина хорды BC. Расстояние от точки M до диаметра AC по определению является длиной перпендикуляра, опущенного из M на AC. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой H. Таким образом, $MH \perp AC$ и, по условию задачи, $MH = 3$ см.

Рассмотрим треугольник MHC. Он является прямоугольным, так как $\angle MHC = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известен катет MH и угол $\angle MCH$ (который равен $\angle BCA = 60^\circ$). Мы можем выразить гипотенузу MC через синус угла $\angle MCH$:
$\sin(\angle MCH) = \frac{MH}{MC}$
Отсюда находим MC:
$MC = \frac{MH}{\sin(\angle MCH)} = \frac{3}{\sin(60^\circ)} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Поскольку M – середина хорды BC, то длина всей хорды BC в два раза больше длины отрезка MC:
$BC = 2 \cdot MC = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная длину катета BC в прямоугольном треугольнике ABC, мы можем найти длину другого катета AB, используя тангенс угла $\angle BAC = 30^\circ$:
$\tan(\angle BAC) = \frac{BC}{AB}$
Выразим из этой формулы искомую хорду AB:
$AB = \frac{BC}{\tan(\angle BAC)} = \frac{4\sqrt{3}}{\tan(30^\circ)} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Ответ: 12 см.