Номер 12.7, страница 95 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.7. Отрезок $BM$ — высота ромба $ABCD$, проведённая к стороне $AD$.

Известно, что $\angle A = 45^\circ$, $AM = 8$ см. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до стороны $AD$.

12.7. Отрезок $BM$ — высота ромба $ABCD$, проведённая к стороне $AD$. Известно, что $\angle A = 45^\circ$, $AM = 8$ см. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до стороны $AD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$. Так как $BM$ — высота, проведенная к стороне $AD$, то угол $∠BMA = 90°$. По условию, угол $∠A = 45°$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90°$, поэтому угол $∠ABM = 90° - ∠A = 90° - 45° = 45°$.

Поскольку в треугольнике $ABM$ два угла равны ($∠A = ∠ABM = 45°$), он является равнобедренным. Следовательно, катеты $AM$ и $BM$ равны:

$BM = AM = 8$ см.

Высота $BM$ представляет собой расстояние между параллельными сторонами ромба $AD$ и $BC$.

Точка пересечения диагоналей ромба (назовем ее $O$) является центром симметрии ромба и равноудалена от его параллельных сторон. Расстояние от точки $O$ до стороны $AD$ — это длина перпендикуляра, опущенного из $O$ на $AD$. Этот перпендикуляр равен половине высоты ромба.

Пусть $h$ — искомое расстояние. Тогда:

$h = \frac{1}{2} BM$

Подставим известное значение $BM$:

$h = \frac{1}{2} \times 8 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

Ответ: 4 см.