Номер 12.14, страница 95 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.14. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен половине их разности: $ \frac{|a-b|}{2} $.

12.14. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен половине их разности.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть $M$ — середина диагонали $AC$, а $N$ — середина диагонали $BD$. Необходимо доказать, что отрезок $MN$ параллелен основаниям трапеции и его длина равна половине их разности.

Для доказательства воспользуемся методом, основанным на свойствах средней линии треугольника. В качестве дополнительного построения возьмём точку $K$ — середину боковой стороны $AB$.

Доказательство параллельности отрезка $MN$ основаниям

1. Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как точка $K$ — середина стороны $AB$, а точка $N$ — середина стороны $BD$, то отрезок $KN$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне ($AD$) и равна её половине:
$KN || AD$ и $KN = \frac{1}{2}AD$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Так как точка $K$ — середина стороны $AB$, а точка $M$ — середина стороны $AC$, то отрезок $KM$ является средней линией треугольника $ABC$. Следовательно, он параллелен стороне $BC$ и равен её половине:
$KM || BC$ и $KM = \frac{1}{2}BC$.

3. По определению трапеции, её основания параллельны, т.е. $AD || BC$. Из этого следует, что $KN || BC$ (так как $KN || AD$) и $KM || AD$ (так как $KM || BC$).

4. Мы получили, что через точку $K$ проходят два отрезка ($KN$ и $KM$), каждый из которых параллелен основаниям трапеции. Согласно аксиоме о параллельных прямых (через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной), отрезки $KN$ и $KM$ должны лежать на одной прямой. Это означает, что точки $K$, $M$ и $N$ коллинеарны.

5. Поскольку отрезок $MN$ является частью прямой, на которой лежит отрезок $KN$, и $KN || AD$, то и $MN || AD$. Так как $AD || BC$, то и $MN || BC$. Первая часть утверждения доказана.

Нахождение длины отрезка $MN$

1. Так как точки $K, M, N$ лежат на одной прямой, длина отрезка $MN$ может быть найдена как разность длин отрезков $KN$ и $KM$. Будем считать, что $AD$ — большее основание ($AD > BC$), тогда и $KN > KM$.
$MN = KN - KM$.

2. Подставим в это равенство выражения для длин $KN$ и $KM$, полученные ранее:
$MN = \frac{1}{2}AD - \frac{1}{2}BC = \frac{AD - BC}{2}$.

3. Если бы основание $BC$ было больше $AD$, то точка $N$ оказалась бы между $K$ и $M$, и длина отрезка $MN$ была бы равна $KM - KN = \frac{BC - AD}{2}$. Таким образом, в общем случае длина отрезка равна половине модуля разности длин оснований.

Обе части утверждения доказаны.
Ответ: Доказано, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям ($AD$ и $BC$) и его длина равна половине их разности: $MN = \frac{|AD - BC|}{2}$.