Номер 12.19, страница 96 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.19. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $BM : MC = 3 : 10$. В каком отношении отрезок $AM$ делит медиану $BK$ треугольника $ABC$?

12.19. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $BM : MC = 3 : 10$. В каком отношении отрезок $AM$ делит медиану $BK$ треугольника $ABC$?

Пусть в треугольнике $ABC$ отрезок $AM$ и медиана $BK$ пересекаются в точке $O$. Требуется найти отношение $BO : OK$.

Для решения этой задачи можно использовать несколько методов. Рассмотрим один из наиболее наглядных — метод дополнительного построения.

1. Проведем через точку $K$ прямую, параллельную стороне $BC$. Пусть эта прямая пересекает отрезок $AM$ в точке $P$. Таким образом, $KP \parallel BC$.

2. Рассмотрим треугольник $AMC$. Поскольку $BK$ – медиана, точка $K$ является серединой стороны $AC$. Так как по построению $KP \parallel MC$ и $K$ – середина $AC$, то по теореме Фалеса (или по свойству средней линии треугольника) отрезок $KP$ является средней линией треугольника $AMC$ относительно стороны $MC$. Следовательно, длина $KP$ равна половине длины $MC$:
$KP = \frac{1}{2} MC$.

3. Теперь рассмотрим треугольники $BOM$ и $KOP$.
• Угол $\angle BOM$ равен углу $\angle KOP$ как вертикальные углы.
• Поскольку $KP \parallel BC$, то $KP \parallel BM$. Прямая $BK$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, угол $\angle OBM$ равен углу $\angle OKP$ как накрест лежащие углы.
Таким образом, треугольник $BOM$ подобен треугольнику $KOP$ по двум углам.

4. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:
$\frac{BO}{OK} = \frac{BM}{KP}$.

5. По условию задачи дано отношение $BM : MC = 3 : 10$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда можем записать, что $BM = 3x$ и $MC = 10x$.

6. Из пункта 2 мы знаем, что $KP = \frac{1}{2} MC$. Подставив значение $MC$, получим:
$KP = \frac{1}{2} (10x) = 5x$.

7. Наконец, подставим найденные выражения для $BM$ и $KP$ в пропорцию из пункта 4:
$\frac{BO}{OK} = \frac{BM}{KP} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$.

Таким образом, отрезок $AM$ делит медиану $BK$ в отношении $3:5$, считая от вершины $B$.

Ответ: $3:5$.