Номер 12.22, страница 96 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.22. Даны отрезки a, b и c. Постройте отрезок x такой, что $a : x = b : c$.

12.22. Даны отрезки a, b и c. Постройте отрезок x такой, что $a : x = b : c$.

Задача состоит в построении отрезка x, удовлетворяющего пропорции $a : x = b : c$. Такая задача называется построением четвертого пропорционального отрезка. Из пропорции следует, что $a \cdot c = b \cdot x$, или $x = \frac{a \cdot c}{b}$. Для построения воспользуемся обобщенной теоремой Фалеса о пропорциональных отрезках.

Построение:

1. Возьмем произвольный неразвернутый угол с вершиной в точке O.
2. На одной из сторон угла отложим от вершины O отрезок OB длиной b.
3. На той же стороне отложим от вершины O отрезок OA длиной a.
4. На другой стороне угла отложим от вершины O отрезок OC длиной c.
5. Соединим точки B и C отрезком.
6. Через точку A проведем прямую, параллельную отрезку BC. Точку пересечения этой прямой со второй стороной угла обозначим X.
7. Отрезок OX является искомым отрезком x.

Доказательство:

Рассмотрим угол с вершиной O. По построению, прямые AX и BC параллельны и пересекают стороны угла. По обобщенной теореме Фалеса, они отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки:

$$ \frac{OA}{OB} = \frac{OX}{OC} $$

Подставим известные длины отрезков: $OA = a$, $OB = b$, $OC = c$. Обозначим длину отрезка OX через x. Получим:

$$ \frac{a}{b} = \frac{x}{c} $$

Данное равенство эквивалентно исходной пропорции $a : x = b : c$, так как из обоих следует, что $a \cdot c = b \cdot x$. Таким образом, построенный отрезок OX является искомым.

Ответ: искомый отрезок x построен согласно приведенному алгоритму.