Номер 12.15, страница 95 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.15. Основания трапеции равны 12 см и 22 см. Найдите отрезки, на которые диагонали трапеции делят её среднюю линию.

12.15. Основания трапеции равны 12 см и 22 см. Найдите отрезки, на которые диагонали трапеции делят её среднюю линию.

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. По условию, длины оснований равны $AD = 22$ см и $BC = 12$ см. Пусть MN — средняя линия трапеции, где M — середина боковой стороны AB, а N — середина боковой стороны CD. Диагонали AC и BD пересекают среднюю линию MN в точках P и Q соответственно. Необходимо найти длины отрезков MP, PQ и QN, на которые диагонали делят среднюю линию.

1. Нахождение длин крайних отрезков (MP и QN).

Рассмотрим треугольник ABC. Так как M — середина стороны AB и средняя линия трапеции MN параллельна основанию BC, то отрезок MP также параллелен BC. По теореме о средней линии треугольника, MP является средней линией треугольника ABC. Ее длина равна половине основания BC, которому она параллельна.

$MP = \frac{1}{2} BC = \frac{12}{2} = 6$ см.

Аналогично, рассмотрим треугольник BCD. Так как N — середина стороны CD и QN (часть средней линии MN) параллельна BC, то QN является средней линией треугольника BCD. Ее длина также равна половине основания BC.

$QN = \frac{1}{2} BC = \frac{12}{2} = 6$ см.

2. Нахождение длины центрального отрезка (PQ).

Существует два способа найти длину отрезка PQ, который находится между диагоналями.

Способ I: Через общую длину средней линии.

Сначала найдем полную длину средней линии MN по формуле полусуммы оснований:

$MN = \frac{AD + BC}{2} = \frac{22 + 12}{2} = \frac{34}{2} = 17$ см.

Теперь, зная длины крайних отрезков MP и QN, найдем длину PQ:

$PQ = MN - MP - QN = 17 - 6 - 6 = 5$ см.

Способ II: По формуле длины отрезка между диагоналями.

Отрезок средней линии, заключенный между диагоналями трапеции, равен полуразности оснований.

$PQ = \frac{AD - BC}{2} = \frac{22 - 12}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Оба способа дают одинаковый результат. Таким образом, диагонали делят среднюю линию на три отрезка.

Ответ: 6 см, 5 см, 6 см.