Номер 12.21, страница 96 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.21. В треугольнике $ABC$ отрезок $AK$ (точка $K$ принадлежит стороне $BC$) делит медиану $BM$ в отношении $3 : 4$, считая от вершины $B$.

В каком отношении точка $K$ делит сторону $BC$?

12.21. В треугольнике $ABC$ отрезок $AK$ (точка $K$ принадлежит стороне $BC$) делит медиану $BM$ в отношении $3 : 4$, считая от вершины $B$.

В каком отношении точка $K$ делит сторону $BC$?

Пусть O — точка пересечения отрезка AK и медианы BM.По условию задачи, отрезок AK делит медиану BM в отношении 3 : 4, считая от вершины B. Это означает, что $BO : OM = 3 : 4$, или в виде дроби $\frac{BO}{OM} = \frac{3}{4}$.

Для нахождения отношения, в котором точка K делит сторону BC, можно воспользоваться теоремой Менелая.

Рассмотрим треугольник BMC и секущую AK (которая проходит через точки A, O, K). Прямая AOK пересекает сторону BC в точке K, сторону BM в точке O и продолжение стороны MC в точке A.

Согласно теореме Менелая для $\triangle BMC$ и прямой AOK, справедливо следующее равенство:$$ \frac{BK}{KC} \cdot \frac{CA}{AM} \cdot \frac{MO}{OB} = 1 $$

Проанализируем каждое из отношений в этой формуле:

1. $\frac{BK}{KC}$ — это искомое отношение, в котором точка K делит сторону BC.

2. Поскольку BM — это медиана, проведённая к стороне AC, то точка M является серединой AC. Следовательно, $AC = AM + MC$ и $AM = MC$. Отсюда $AC = 2AM$, и отношение $\frac{CA}{AM} = \frac{2AM}{AM} = 2$.

3. Из условия задачи известно, что $\frac{BO}{OM} = \frac{3}{4}$. Для формулы Менелая нам нужно обратное отношение: $\frac{MO}{OB} = \frac{4}{3}$.

Теперь подставим найденные значения в уравнение теоремы Менелая:$$ \frac{BK}{KC} \cdot 2 \cdot \frac{4}{3} = 1 $$

Выполним умножение:$$ \frac{BK}{KC} \cdot \frac{8}{3} = 1 $$

Из этого уравнения выразим искомое отношение $\frac{BK}{KC}$:$$ \frac{BK}{KC} = 1 : \frac{8}{3} $$$$ \frac{BK}{KC} = \frac{3}{8} $$

Таким образом, точка K делит сторону BC в отношении 3 : 8, считая от вершины B.

Ответ: 3 : 8.