Номер 12.23, страница 96 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.23. Через точку $O$, принадлежащую данному углу, проведите отрезок, концы которого принадлежат сторонам данного угла и который делится точкой $O$:

1) пополам;

2) в отношении $2:3$.

12.23. Через точку $O$, принадлежащую данному углу, проведите отрезок, концы которого принадлежат сторонам данного угла и который делится точкой $O$:

1) пополам;

2) в отношении $2 : 3$.

Пусть дан угол с вершиной в точке $A$ и сторонами (лучами) $l_1$ и $l_2$. Точка $O$ находится внутри этого угла. Требуется построить отрезок $MN$ так, чтобы его концы лежали на сторонах угла ($M \in l_1$, $N \in l_2$), а точка $O$ лежала на отрезке $MN$.

В этом случае точка $O$ является серединой искомого отрезка $MN$, то есть $MO = ON$.

Анализ и построение

Если $O$ — середина отрезка $MN$, то точка $M$ является образом точки $N$ при центральной симметрии с центром в точке $O$ (и наоборот). Обозначим эту симметрию $S_O$.

Точка $M$ по условию лежит на луче $l_1$. Её образ $N = S_O(M)$ должен лежать на образе луча $l_1$ при симметрии $S_O$. Обозначим образ прямой, содержащей луч $l_1$, как $l'_1$. Образом прямой при центральной симметрии является параллельная ей прямая.

Также, по условию, точка $N$ должна лежать на луче $l_2$. Следовательно, точка $N$ является точкой пересечения прямой $l'_1$ и прямой, содержащей луч $l_2$.

Это приводит к следующему алгоритму построения:

1. Проведем луч $AO$ и на его продолжении за точку $O$ отложим отрезок $OA'$, равный отрезку $AO$. Точка $A'$ является образом вершины угла $A$ при центральной симметрии относительно точки $O$.
2. Через полученную точку $A'$ проведем прямую $l'_1$, параллельную стороне угла $l_1$.
3. Найдем точку пересечения прямой $l'_1$ со стороной угла $l_2$. Это будет искомая точка $N$.
4. Проведем прямую через точки $N$ и $O$. Точка пересечения этой прямой со стороной $l_1$ является искомой точкой $M$.
5. Отрезок $MN$ — искомый.

Доказательство

Рассмотрим треугольники $\triangle AMO$ и $\triangle A'NO$.

• $AO = A'O$ по построению.
• $\angle MAO = \angle NA'O$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $l_1 \parallel l'_1$ и секущей $AA'$.
• $\angle MOA = \angle NOA'$ как вертикальные углы.

Следовательно, $\triangle AMO \cong \triangle A'NO$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $MO = NO$. Таким образом, точка $O$ является серединой отрезка $MN$, концы которого лежат на сторонах данного угла.

Ответ: Искомый отрезок строится с помощью метода центральной симметрии, как описано в алгоритме построения.

В этом случае точка $O$ делит отрезок $MN$ так, что $MO:ON = 2:3$.

Анализ и построение

Условие $MO:ON = 2:3$ означает, что точки $M, O, N$ лежат на одной прямой, а векторы $\vec{OM}$ и $\vec{ON}$ противоположно направлены. При этом соотношение их длин $|\vec{ON}| = \frac{3}{2}|\vec{OM}|$. Это определение гомотетии (преобразования подобия) с центром в точке $O$ и коэффициентом $k = -\frac{3}{2}$. Таким образом, точка $N$ является образом точки $M$ при гомотетии $H_{O, -3/2}$.

Рассуждая аналогично первому пункту, точка $N$ должна лежать на пересечении стороны $l_2$ и образа $l'_1$ стороны $l_1$ при указанной гомотетии. Образом прямой при гомотетии является параллельная ей прямая.

Алгоритм построения:

1. Проведем луч $AO$.
2. Построим точку $A'$, которая является образом точки $A$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k = -3/2$. Для этого на продолжении луча $AO$ за точку $O$ отложим отрезок $OA'$ длиной $OA' = \frac{3}{2}AO$. (Это можно сделать, найдя середину $P$ отрезка $AO$ и отложив от точки $O$ отрезок $OA' = AO + OP$).
3. Через точку $A'$ проведем прямую $l'_1$, параллельную стороне угла $l_1$.
4. Найдем точку пересечения прямой $l'_1$ со стороной угла $l_2$. Это будет искомая точка $N$.
5. Проведем прямую через точки $N$ и $O$. Точка пересечения этой прямой со стороной $l_1$ является искомой точкой $M$.
6. Отрезок $MN$ — искомый.

Доказательство

Рассмотрим треугольники $\triangle AMO$ и $\triangle A'NO$.

• $\angle MOA = \angle NOA'$ как вертикальные углы.
• Так как прямая $l_1$ (содержащая $AM$) параллельна прямой $l'_1$ (содержащей $A'N$) по построению, а прямая $AA'$ является для них секущей, то углы $\angle OAM$ и $\angle OA'N$ равны как накрест лежащие.

Следовательно, $\triangle AMO \sim \triangle A'NO$ по двум углам (первый признак подобия треугольников). Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:

$$ \frac{MO}{NO} = \frac{AO}{A'O} $$

По построению, $A'O = \frac{3}{2}AO$. Подставляя это в пропорцию, получаем:

$$ \frac{MO}{NO} = \frac{AO}{\frac{3}{2}AO} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} $$

Таким образом, $MO:ON = 2:3$, что и требовалось доказать.

Ответ: Искомый отрезок строится с помощью метода гомотетии с центром в точке $O$ и коэффициентом $k=-3/2$, как описано в алгоритме построения.