Номер 12.30, страница 97 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.30. В остроугольном треугольнике $ABC$ отрезки $CC_1$ и $AA_1$ — высоты. Из точек $A$ и $C$ на прямую $A_1C_1$ опущены перпендикуляры $AF$ и $CK$. Докажите, что $FC_1 = KA_1$.

12.30. В остроугольном треугольнике $ABC$ отрезки $CC_1$ и $AA_1$ — высоты. Из точек $A$ и $C$ на прямую $A_1C_1$ опущены перпендикуляры $AF$ и $CK$. Докажите, что $FC_1 = KA_1$.

Рассмотрим четырехугольник $AC_1A_1C$. По условию, $AA_1$ и $CC_1$ — высоты в $\triangle ABC$, поэтому $\angle AA_1C = \angle AC_1C = 90^\circ$. Так как углы $AC_1C$ и $AA_1C$ прямые и опираются на отрезок $AC$, точки $A, C_1, A_1, C$ лежат на одной окружности, диаметром которой является отрезок $AC$. Следовательно, четырехугольник $AC_1A_1C$ — вписанный.

По условию, $AF \perp A_1C_1$ и $CK \perp A_1C_1$. Таким образом, $F$ и $K$ — основания перпендикуляров, опущенных из $A$ и $C$ на прямую $A_1C_1$. В прямоугольных треугольниках $\triangle AFC_1$ и $\triangle CKA_1$ отрезки $FC_1$ и $KA_1$ являются катетами. Их длины можно выразить как:

$FC_1 = AC_1 \cdot |\cos(\angle AC_1A_1)|$

$KA_1 = CA_1 \cdot |\cos(\angle CA_1C_1)|$

Поскольку $\triangle ABC$ остроугольный, все его углы острые. Как будет показано далее, $\angle AC_1A_1 = \angle C$ и $\angle CA_1C_1 = \angle A$, а значит, эти углы также острые. Поэтому их косинусы положительны, и модуль можно опустить.

Найдем величины этих углов, используя свойство вписанного четырехугольника $AC_1A_1C$. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны:

1. Угол $\angle AC_1A_1$ и угол $\angle ACA_1$ опираются на одну и ту же дугу $AA_1$. Следовательно, $\angle AC_1A_1 = \angle ACA_1$. В прямоугольном треугольнике $\triangle AA_1C$, угол $\angle ACA_1$ является углом $C$ треугольника $ABC$. Таким образом, $\angle AC_1A_1 = \angle C$.

2. Угол $\angle CA_1C_1$ и угол $\angle CAC_1$ опираются на одну и ту же дугу $CC_1$. Следовательно, $\angle CA_1C_1 = \angle CAC_1$. В прямоугольном треугольнике $\triangle AC_1C$, угол $\angle CAC_1$ является углом $A$ треугольника $ABC$. Таким образом, $\angle CA_1C_1 = \angle A$.

Теперь подставим найденные значения углов в выражения для длин отрезков:

$FC_1 = AC_1 \cdot \cos(C)$

$KA_1 = CA_1 \cdot \cos(A)$

Осталось выразить длины катетов $AC_1$ и $CA_1$ через общую гипотенузу $AC$ и углы треугольника $ABC$ из тех же прямоугольных треугольников $\triangle AC_1C$ и $\triangle AA_1C$:

$AC_1 = AC \cdot \cos(A)$

$CA_1 = AC \cdot \cos(C)$

Наконец, подставим эти выражения в формулы для $FC_1$ и $KA_1$:

$FC_1 = (AC \cdot \cos(A)) \cdot \cos(C) = AC \cdot \cos(A) \cos(C)$

$KA_1 = (AC \cdot \cos(C)) \cdot \cos(A) = AC \cdot \cos(A) \cos(C)$

Правые части полученных выражений равны, следовательно, равны и левые части: $FC_1 = KA_1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $FC_1 = KA_1$ доказано.