Вопросы, страница 101 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. Сформулируйте теорему о медианах треугольника.

2. Сформулируйте свойство биссектрисы треугольника.

3. Сформулируйте свойство биссектрисы внешнего угла треугольника.

1. Сформулируйте теорему о медианах треугольника.

2. Сформулируйте свойство биссектрисы треугольника.

3. Сформулируйте свойство биссектрисы внешнего угла треугольника.

1. Сформулируйте теорему о медианах треугольника.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке (которая называется центроидом или центром тяжести треугольника), и эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Таким образом, если в треугольнике $ABC$ медианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $O$, то выполняются следующие равенства:
$ \frac{AO}{OA_1} = \frac{BO}{OB_1} = \frac{CO}{OC_1} = \frac{2}{1} $
Ответ: Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

2. Сформулируйте свойство биссектрисы треугольника.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум прилежащим сторонам.
Если в треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $CL$ из вершины $C$ к стороне $AB$, то она разделит сторону $AB$ на отрезки $AL$ и $LB$ так, что будет выполняться соотношение:
$ \frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC} $
Ответ: Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

3. Сформулируйте свойство биссектрисы внешнего угла треугольника.

Биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противолежащей стороны в точке, отношение расстояний от которой до двух других вершин треугольника равно отношению длин прилежащих к этому углу сторон (при условии, что эти стороны не равны).
Пусть в треугольнике $ABC$ стороны $AC \ne BC$. Биссектриса внешнего угла при вершине $C$ пересекает продолжение стороны $AB$ в точке $K$. Тогда справедливо равенство:
$ \frac{AK}{BK} = \frac{AC}{BC} $
Если стороны, образующие внешний угол, равны ($AC=BC$), то биссектриса внешнего угла будет параллельна противолежащей стороне ($AB$) и не пересечет ее продолжение.
Ответ: Биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противолежащей стороны в точке, расстояния от которой до концов этой стороны пропорциональны прилежащим сторонам треугольника (если эти стороны не равны).