Номер 12.28, страница 96 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.28. Точки $M$ и $P$ — середины соответственно сторон $AD$ и $DC$ параллелограмма $ABCD$. Отрезки $MC$ и $BP$ пересекаются в точке $K$. Найдите отношение $BK : KP$.

12.28. Точки $M$ и $P$ — середины соответственно сторон $AD$ и $DC$ параллелограмма $ABCD$. Отрезки $MC$ и $BP$ пересекаются в точке $K$. Найдите отношение $BK : KP$.

Для решения задачи воспользуемся методом подобия треугольников, введя дополнительное построение. Продлим отрезок $BP$ за точку $P$ до пересечения с продолжением стороны $AD$ в точке $Q$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BPC$ и $\triangle QPD$. В них:

1. $PC = PD$, так как $P$ — середина стороны $DC$ по условию.

2. $\angle BPC = \angle QPD$ как вертикальные углы.

3. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны: $BC \parallel AD$. Прямая $AQ$ является продолжением $AD$, следовательно, $BC \parallel AQ$. При пересечении этих параллельных прямых секущей $BQ$ образуются равные накрест лежащие углы: $\angle CBP = \angle DQP$ (или $\angle PBC = \angle PQD$).

Таким образом, $\triangle BPC \cong \triangle QPD$ (по стороне и двум прилежащим к ней углам, так как равенство двух углов в треугольниках влечет равенство и третьих углов). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $BC = QD$ и $BP = PQ$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle KBC$ и $\triangle KMQ$. Так как $BC \parallel AQ$, а значит $BC \parallel MQ$, то:

1. $\angle KBC = \angle KQM$ (как накрест лежащие углы при $BC \parallel MQ$ и секущей $BQ$).

2. $\angle KCB = \angle KMQ$ (как накрест лежащие углы при $BC \parallel MQ$ и секущей $MC$).

Следовательно, треугольники $\triangle KBC$ и $\triangle KMQ$ подобны по двум углам (первый признак подобия).

Из подобия треугольников $\triangle KBC \sim \triangle KMQ$ следует пропорциональность их сторон:$$ \frac{BK}{KQ} = \frac{BC}{MQ} $$Найдем длину отрезка $MQ$. Он состоит из двух частей: $MQ = MD + DQ$.Известно, что $M$ — середина $AD$, поэтому $MD = \frac{1}{2} AD$.Из равенства треугольников $\triangle BPC \cong \triangle QPD$ мы получили, что $QD = BC$.В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны, т.е. $AD = BC$.Отсюда следует, что $QD = AD$.Тогда $MQ = MD + DQ = \frac{1}{2} AD + AD = \frac{3}{2} AD$.

Теперь найдем отношение $\frac{BC}{MQ}$:$$ \frac{BC}{MQ} = \frac{AD}{\frac{3}{2} AD} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} $$Значит, $\frac{BK}{KQ} = \frac{2}{3}$, откуда $3 \cdot BK = 2 \cdot KQ$.

Выразим $KQ$ через искомые отрезки. Точка $K$ лежит на отрезке $BP$, а точка $P$ - на отрезке $KQ$, поэтому $KQ = KP + PQ$.Ранее мы выяснили, что $PQ = BP$.Отрезок $BP$ в свою очередь состоит из частей $BK$ и $KP$: $BP = BK + KP$.Подставляя, получаем: $KQ = KP + BP = KP + (BK + KP) = BK + 2KP$.

Наконец, подставим выражение для $KQ$ в соотношение $3 \cdot BK = 2 \cdot KQ$:$$ 3 \cdot BK = 2 \cdot (BK + 2KP) $$$$ 3 \cdot BK = 2 \cdot BK + 4 \cdot KP $$$$ 3 \cdot BK - 2 \cdot BK = 4 \cdot KP $$$$ BK = 4 \cdot KP $$Отсюда получаем искомое отношение:$$ \frac{BK}{KP} = \frac{4}{1} $$То есть $BK : KP = 4:1$.

Ответ: $4:1$