Номер 13.1, страница 101 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.1. Высота равностороннего треугольника равна 12 см. На каком расстоянии от сторон треугольника находится точка пересечения его биссектрис?

13.1. Высота равностороннего треугольника равна 12 см. На каком расстоянии от сторон треугольника находится точка пересечения его биссектрис?

В равностороннем треугольнике высоты, медианы и биссектрисы, проведенные из одной и той же вершины, совпадают. Это означает, что точка пересечения биссектрис, точка пересечения медиан и точка пересечения высот находятся в одном и том же месте.

Точка пересечения медиан треугольника, известная как центроид, обладает свойством делить каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Поскольку в равностороннем треугольнике высота является также и медианой, точка пересечения биссектрис делит высоту в том же отношении. Длина высоты по условию задачи составляет $h = 12$ см.

Высота делится на два отрезка. Отрезок от вершины до точки пересечения составляет $\frac{2}{3}$ высоты, а отрезок от точки пересечения до стороны треугольника составляет $\frac{1}{3}$ высоты.

Расстояние от стороны треугольника до точки пересечения его биссектрис — это как раз длина меньшего отрезка, то есть $\frac{1}{3}$ от всей высоты.

Вычислим это расстояние: $d = \frac{1}{3} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$ см.

Ответ: 4 см.