Номер 13.8, страница 101 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.8. Точки $M$ и $K$ — середины сторон $AB$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$ соответственно. Докажите, что точка пересечения прямых $BK$ и $DM$ принадлежит диагонали $AC$.

13.8. Точки $M$ и $K$ — середины сторон $AB$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$ соответственно. Докажите, что точка пересечения прямых $BK$ и $DM$ принадлежит диагонали $AC$.

Для доказательства утверждения воспользуемся векторным методом. Введем систему координат с началом в вершине $A$ параллелограмма $ABCD$. Обозначим векторы, соответствующие сторонам параллелограмма, как $\vec{AB} = \mathbf{b}$ и $\vec{AD} = \mathbf{d}$.

Тогда положение других вершин можно выразить через эти базисные векторы:

• $\vec{A}$ — начало координат, $\vec{AP}$ — радиус-вектор точки $P$.
• $\vec{B}$ имеет радиус-вектор $\mathbf{b}$.
• $\vec{D}$ имеет радиус-вектор $\mathbf{d}$.
• $\vec{C}$ имеет радиус-вектор $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \mathbf{b} + \mathbf{d}$.

По условию, точка $M$ — середина стороны $AB$, следовательно, ее радиус-вектор:

$\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\mathbf{b}$.

Точка $K$ — середина стороны $AD$, следовательно, ее радиус-вектор:

$\vec{AK} = \frac{1}{2}\vec{AD} = \frac{1}{2}\mathbf{d}$.

Пусть $P$ — точка пересечения прямых $BK$ и $DM$. Поскольку точка $P$ лежит на прямой $DM$, ее радиус-вектор $\vec{AP}$ можно выразить как линейную комбинацию векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AM}$ (так как точки $D, P, M$ коллинеарны):

$\vec{AP} = (1-t)\vec{AD} + t\vec{AM}$ для некоторого действительного числа $t$.

Подставив выражения для векторов, получим:

$\vec{AP} = (1-t)\mathbf{d} + t\left(\frac{1}{2}\mathbf{b}\right) = \frac{t}{2}\mathbf{b} + (1-t)\mathbf{d}$. (1)

Аналогично, поскольку точка $P$ лежит на прямой $BK$, ее радиус-вектор $\vec{AP}$ можно выразить как линейную комбинацию векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AK}$ (так как точки $B, P, K$ коллинеарны):

$\vec{AP} = (1-s)\vec{AB} + s\vec{AK}$ для некоторого действительного числа $s$.

Подставив выражения для векторов, получим:

$\vec{AP} = (1-s)\mathbf{b} + s\left(\frac{1}{2}\mathbf{d}\right) = (1-s)\mathbf{b} + \frac{s}{2}\mathbf{d}$. (2)

Векторы $\mathbf{b}$ и $\mathbf{d}$ не коллинеарны, так как они представляют смежные стороны параллелограмма. Следовательно, разложение вектора $\vec{AP}$ по базису $\{\mathbf{b}, \mathbf{d}\}$ единственно. Приравняем коэффициенты при векторах $\mathbf{b}$ и $\mathbf{d}$ в выражениях (1) и (2):

$\begin{cases} \frac{t}{2} = 1-s \\ 1-t = \frac{s}{2} \end{cases}$

Решим полученную систему уравнений. Из второго уравнения выразим $s$: $s = 2(1-t)$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{t}{2} = 1 - 2(1-t)$

$\frac{t}{2} = 1 - 2 + 2t$

$\frac{t}{2} = 2t - 1$

$t = 4t - 2$

$3t = 2 \implies t = \frac{2}{3}$

Теперь найдем радиус-вектор точки $P$, подставив найденное значение $t$ в уравнение (1):

$\vec{AP} = \frac{2/3}{2}\mathbf{b} + \left(1 - \frac{2}{3}\right)\mathbf{d} = \frac{1}{3}\mathbf{b} + \frac{1}{3}\mathbf{d} = \frac{1}{3}(\mathbf{b} + \mathbf{d})$.

Мы знаем, что вектор диагонали $\vec{AC} = \mathbf{b} + \mathbf{d}$. Таким образом, мы получили соотношение:

$\vec{AP} = \frac{1}{3}\vec{AC}$

Это равенство означает, что вектор $\vec{AP}$ коллинеарен вектору $\vec{AC}$. Поскольку оба вектора имеют общее начало в точке $A$, точки $A$, $P$ и $C$ лежат на одной прямой. Следовательно, точка $P$ принадлежит диагонали $AC$.

Ответ: Утверждение доказано.