Номер 13.13, страница 102 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.13. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, равна 42 см, а основание относится к боковой стороне как 6 : 11. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.

13.13. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, равна 42 см, а основание относится к боковой стороне как 6 : 11. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. По условию, $BH = 42$ см.

Высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $H$ — середина $AC$, а треугольник $ABH$ — прямоугольный.

По условию, отношение основания к боковой стороне равно $6 : 11$. Обозначим основание $AC = 6x$ и боковую сторону $AB = 11x$, где $x$ — коэффициент пропорциональности.

Так как $H$ — середина $AC$, то $AH = \frac{AC}{2} = \frac{6x}{2} = 3x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

Подставим известные значения:

$(11x)^2 = (3x)^2 + 42^2$

$121x^2 = 9x^2 + 1764$

$121x^2 - 9x^2 = 1764$

$112x^2 = 1764$

$x^2 = \frac{1764}{112} = 15.75$

Теперь, когда у нас есть $x^2$, мы можем найти длины сторон, но есть более простой способ, не требующий извлечения корня.

Радиус вписанной окружности $r$ можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Найдем площадь треугольника $S$:

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$

Для этого сначала найдем $x$: $x = \sqrt{15.75} = \sqrt{\frac{63}{4}} = \frac{3\sqrt{7}}{2}$.

Тогда основание $AC = 6x = 6 \cdot \frac{3\sqrt{7}}{2} = 9\sqrt{7}$ см.

$S = \frac{1}{2} \cdot 9\sqrt{7} \cdot 42 = 189\sqrt{7}$ см$^2$.

2. Найдем полупериметр $p$:

Боковая сторона $AB = 11x = 11 \cdot \frac{3\sqrt{7}}{2} = \frac{33\sqrt{7}}{2}$ см.

Периметр $P = AC + 2 \cdot AB = 9\sqrt{7} + 2 \cdot \frac{33\sqrt{7}}{2} = 9\sqrt{7} + 33\sqrt{7} = 42\sqrt{7}$ см.

Полупериметр $p = \frac{P}{2} = \frac{42\sqrt{7}}{2} = 21\sqrt{7}$ см.

3. Найдем радиус вписанной окружности $r$:

$r = \frac{S}{p} = \frac{189\sqrt{7}}{21\sqrt{7}} = 9$ см.

Альтернативный способ:

Центр вписанной окружности $O$ лежит на высоте $BH$ (так как $BH$ является биссектрисой угла $B$). Точка $O$ также является точкой пересечения биссектрис. Проведем биссектрису угла $A$, она пересечет высоту $BH$ в точке $O$.

Рассмотрим треугольник $ABH$. $AO$ — биссектриса угла $A$. По свойству биссектрисы треугольника:

$\frac{BO}{OH} = \frac{AB}{AH}$

Радиус вписанной окружности $r$ равен длине перпендикуляра $OH$ из центра $O$ к основанию $AC$. То есть, $OH = r$. Тогда $BO = BH - OH = 42 - r$.

Отношение сторон $\frac{AB}{AH} = \frac{11x}{3x} = \frac{11}{3}$.

Подставим все в пропорцию:

$\frac{42 - r}{r} = \frac{11}{3}$

$3(42 - r) = 11r$

$126 - 3r = 11r$

$126 = 14r$

$r = \frac{126}{14} = 9$ см.

Ответ: 9 см.