Номер 13.18, страница 102 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.18. Постройте треугольник:

1) по стороне и углам, которые эта сторона образует с медианами, проведёнными к двум другим сторонам;

2) по двум медианам и углу между ними;

3) по высоте и медиане, проведённым к одной стороне, и углу между этой стороной и медианой, проведённой к другой стороне.

13.18. Постройте треугольник:

1) по стороне и углам, которые эта сторона образует с медианами, проведёнными к двум другим сторонам;

2) по двум медианам и углу между ними;

3) по высоте и медиане, проведённым к одной стороне, и углу между этой стороной и медианой, проведённой к другой стороне.

1) по стороне и углам, которые эта сторона образует с медианами, проведёнными к двум другим сторонам;

Анализ. Пусть искомый треугольник — $ABC$, где $BC$ — данная сторона, равная $a$. Пусть $m_b$ и $m_c$ — медианы, проведённые из вершин $B$ и $C$ соответственно, а $O$ — точка их пересечения (центроид треугольника). По условию нам даны углы $\angle CBO = \beta_1$ и $\angle BCO = \gamma_1$.

Рассмотрим треугольник $OBC$. В нём известна сторона $BC = a$ и два прилежащих к ней угла: $\angle OBC = \beta_1$ и $\angle OCB = \gamma_1$. Такой треугольник можно построить.

Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины. Пусть $M_b$ — середина стороны $AC$, а $M_c$ — середина стороны $AB$. Тогда $BO = 2 \cdot OM_b$ и $CO = 2 \cdot OM_c$. Это означает, что точки $M_b$ и $M_c$ лежат на продолжениях отрезков $BO$ и $CO$ за точку $O$, причём $OM_b = \frac{1}{2}BO$ и $OM_c = \frac{1}{2}CO$.

Вершина $A$ является точкой пересечения прямых $BM_c$ и $CM_b$. Таким образом, мы можем определить положение вершины $A$, а значит, и построить весь треугольник $ABC$.

Построение.

1. Строим отрезок $BC$ заданной длины $a$.
2. От луча $BC$ в одной полуплоскости откладываем угол $\angle CBX = \beta_1$.
3. От луча $CB$ в той же полуплоскости откладываем угол $\angle BCY = \gamma_1$.
4. Лучи $BX$ и $CY$ пересекаются в точке $O$ — центроиде искомого треугольника.
5. На луче $BO$ за точкой $O$ откладываем отрезок $OM_b$, равный половине отрезка $BO$. Это можно сделать, найдя середину $BO$ и отложив такой же отрезок от точки $O$.
6. Аналогично, на луче $CO$ за точкой $O$ откладываем отрезок $OM_c$, равный половине отрезка $CO$.
7. Проводим прямую через точки $C$ и $M_b$.
8. Проводим прямую через точки $B$ и $M_c$.
9. Точка пересечения этих двух прямых является вершиной $A$.
10. Соединяем точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство. В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ имеет заданную длину $a$. Прямые $BM_b$ и $CM_c$ пересекаются в точке $O$. В треугольнике $BOC$ углы при стороне $BC$ равны заданным углам $\beta_1$ и $\gamma_1$. Осталось доказать, что $BM_b$ и $CM_c$ являются медианами.

Рассмотрим треугольники $BOC$ и $M_bOM_c$. Углы $\angle BOC$ и $\angle M_bOM_c$ равны как вертикальные. По построению $BO/OM_b = CO/OM_c = 2$. Следовательно, $\triangle BOC \sim \triangle M_bOM_c$ по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними). Из подобия следует, что $BC \parallel M_bM_c$ и $BC = 2M_bM_c$.

В треугольнике $ABC$ отрезок $M_bM_c$ соединяет стороны $AC$ и $AB$ и параллелен третьей стороне $BC$. По теореме Фалеса, этот отрезок является средней линией треугольника. Значит, $M_b$ — середина $AC$, а $M_c$ — середина $AB$. Таким образом, $BM_b$ и $CM_c$ действительно являются медианами треугольника $ABC$.

Ответ: Построить треугольник $OBC$ по стороне $BC$ и прилежащим углам $\beta_1, \gamma_1$. Найти точки $M_b$ и $M_c$ на продолжениях отрезков $BO$ и $CO$ за точку $O$ так, что $OM_b=BO/2$ и $OM_c=CO/2$. Вершина $A$ находится на пересечении прямых $CM_b$ и $BM_c$.

2) по двум медианам и углу между ними;

Анализ. Пусть искомый треугольник — $ABC$. Нам даны длины двух медиан, скажем $m_b$ и $m_c$, и угол $\theta$ между ними. Медианы пересекаются в точке $O$ (центроиде). Угол между медианами — это угол при их пересечении, то есть $\angle BOC = \theta$ (или смежный с ним угол $180^\circ - \theta$).

Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, мы можем найти длины отрезков $BO$, $CO$, $OM_b$ и $OM_c$: $BO = \frac{2}{3}m_b$, $CO = \frac{2}{3}m_c$.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник $BOC$. В нём известны две стороны ($BO$ и $CO$) и угол между ними ($\angle BOC = \theta$). Такой треугольник можно построить.

После построения треугольника $BOC$ задача сводится к предыдущей: у нас есть точки $B, O, C$, и мы можем найти вершину $A$ так же, как и в пункте 1.

Построение.

1. С помощью циркуля и линейки строим отрезки длиной $l_B = \frac{2}{3}m_b$ и $l_C = \frac{2}{3}m_c$. Для этого делим данные отрезки $m_b$ и $m_c$ на три равные части и берём две из них.
2. Строим угол, равный данному углу $\theta$. Обозначим его вершину как $O$.
3. На одном луче угла откладываем отрезок $OB = l_B$.
4. На втором луче угла откладываем отрезок $OC = l_C$.
5. Соединяем точки $B$ и $C$, получая треугольник $BOC$.
6. На луче $BO$ за точкой $O$ откладываем отрезок $OM_b$, равный половине $BO$ (то есть $OM_b = \frac{1}{3}m_b$).
7. Аналогично, на луче $CO$ за точкой $O$ откладываем отрезок $OM_c$, равный половине $CO$ (то есть $OM_c = \frac{1}{3}m_c$).
8. Проводим прямую через точки $C$ и $M_b$.
9. Проводим прямую через точки $B$ и $M_c$.
10. Точка пересечения этих прямых является вершиной $A$.
11. Соединяем точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство. Аналогично доказательству из пункта 1, построенные отрезки $BM_b$ и $CM_c$ являются медианами треугольника $ABC$. Их длины равны $m_b$ и $m_c$ соответственно ($BB' = BO + OM_b = \frac{2}{3}m_b + \frac{1}{3}m_b = m_b$), а угол между ними равен $\theta$.

Ответ: Построить отрезки $BO = \frac{2}{3}m_b$ и $CO = \frac{2}{3}m_c$. Построить треугольник $BOC$ по этим двум сторонам и углу $\theta$ между ними. Затем, как в задаче 1, найти вершину $A$ на пересечении прямых $CM_b$ и $BM_c$, где $M_b$ и $M_c$ — точки на продолжениях $BO$ и $CO$ такие, что $OM_b=BO/2$ и $OM_c=CO/2$.

3) по высоте и медиане, проведённым к одной стороне, и углу между этой стороной и медианой, проведённой к другой стороне.

Анализ. Пусть искомый треугольник — $ABC$. Нам даны высота $h_a=AH$, медиана $m_a=AM_a$, проведённые к стороне $BC$, и угол $\beta_1 = \angle CBM_b$ между стороной $BC$ и медианой $m_b=BM_b$, проведённой к стороне $AC$.

Сначала построим прямоугольный треугольник $AHM_a$ по гипотенузе $m_a$ и катету $h_a$ (это возможно, если $m_a \ge h_a$). Это построение задаёт нам положение вершины $A$ относительно прямой, содержащей сторону $BC$, а также положение точки $M_a$ — середины $BC$. Длина отрезка $HM_a$ равна $d = \sqrt{m_a^2-h_a^2}$.

Теперь нам нужно найти положение вершин $B$ и $C$ на прямой $HM_a$. Так как $M_a$ — середина $BC$, то $BM_a = CM_a$. Обозначим это расстояние как $x$. Задача сводится к нахождению длины $x$.

Рассмотрим, как угол $\beta_1$ связан с известными и искомыми величинами. Проведём из точки $M_b$ (середина $AC$) перпендикуляр $M_bK$ на прямую $BC$. Так как $M_b$ — середина $AC$, то $M_bK$ является средней линией трапеции (или треугольника) с основаниями $AH$ и $CL$ (где $CL$ - перпендикуляр из $C$ на $AH$). Проще говоря, $M_bK = \frac{1}{2}AH = \frac{h_a}{2}$. Также точка $K$ является серединой отрезка $HC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BKM_b$. В нём $\tan(\beta_1) = \frac{M_bK}{BK}$. Мы знаем $M_bK = h_a/2$. Найдём $BK$. $BK = BM_a + M_aK$ (или $BM_a - M_aK$, в зависимости от расположения точек). Пусть для определённости точки на прямой расположены в порядке $H, M_a, C$, а $B$ симметричен $C$ относительно $M_a$. Тогда $HC = HM_a + M_aC = d+x$. Так как $K$ — середина $HC$, то $M_aK = M_aC - KC = x - \frac{d+x}{2} = \frac{x-d}{2}$. $BK = BM_a + M_aK = x + \frac{x-d}{2} = \frac{3x-d}{2}$. (Этот результат не зависит от порядка точек $H$ и $M_a$).

Подставляем в формулу для тангенса: $\tan(\beta_1) = \frac{h_a/2}{(3x-d)/2} = \frac{h_a}{3x-d}$. Отсюда $3x-d = \frac{h_a}{\tan(\beta_1)} = h_a \cot(\beta_1)$. $3x = d + h_a \cot(\beta_1)$. $x = \frac{1}{3}(d + h_a \cot(\beta_1))$.

Все величины в правой части можно построить. $d$ — это второй катет в $\triangle AHM_a$. $L = h_a \cot(\beta_1)$ — это катет прямоугольного треугольника, у которого другой катет равен $h_a$, а прилежащий к искомому катету угол равен $\beta_1$. Таким образом, мы можем построить отрезок длиной $x$.

Построение.

1. На прямой строим точку $H$. Восстанавливаем из неё перпендикуляр $HA$ длиной $h_a$.
2. Из точки $A$ как из центра проводим окружность радиусом $m_a$. Точка её пересечения с исходной прямой будет точкой $M_a$. Мы построили $\triangle AHM_a$. Длина катета $HM_a$ равна $d$.
3. Строим прямоугольный треугольник с катетом $P Q = h_a$ и прилежащим углом $\angle PQR = \beta_1$. Второй катет $QR$ будет иметь длину $L = h_a \cot(\beta_1)$.
4. Строим отрезок $S$, длина которого равна сумме длин отрезков $d$ и $L$.
5. Делим отрезок $S$ на три равные части, получая отрезок длиной $x = S/3$.
6. На прямой $HM_a$ откладываем от точки $M_a$ в разные стороны отрезки $M_aB$ и $M_aC$, равные $x$.
7. Соединяем точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Построить прямоугольный треугольник $AHM_a$ по гипотенузе $m_a$ и катету $h_a$. Найти отрезок $x = \frac{1}{3}(HM_a + h_a \cot \beta_1)$, где $h_a \cot \beta_1$ строится как катет в другом прямоугольном треугольнике. Вершины $B$ и $C$ лежат на прямой $HM_a$ на расстоянии $x$ от точки $M_a$ в разные стороны.