Вопросы, страница 105 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. Какие два треугольника называют подобными?

2. Чему равен коэффициент подобия двух равных треугольников?

3. Сформулируйте лемму о подобных треугольниках.

1. Какие два треугольника называют подобными?

2. Чему равен коэффициент подобия двух равных треугольников?

3. Сформулируйте лемму о подобных треугольниках.

1. Какие два треугольника называют подобными?

Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным (соответствующим) сторонам другого. Сходственными сторонами являются стороны, лежащие против равных углов.

Таким образом, если треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ подобны (что записывается как $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$), то должны выполняться два условия:

1. Равенство соответствующих углов: $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$.

2. Пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$.

Число $k$, равное отношению сходственных сторон, называется коэффициентом подобия.

Ответ: Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны.

2. Чему равен коэффициент подобия двух равных треугольников?

Равные треугольники — это треугольники, которые можно совместить наложением. У равных треугольников равны все соответствующие элементы: стороны и углы. Таким образом, если $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, то их сходственные стороны равны: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$ и $AC = A_1C_1$.

Коэффициент подобия $k$ — это отношение длин сходственных сторон. Для равных треугольников это отношение будет:

$k = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$

Поскольку $AB = A_1B_1$, то $\frac{AB}{A_1B_1} = 1$. Аналогично для других пар сторон. Следовательно, коэффициент подобия равен единице.

Ответ: Коэффициент подобия двух равных треугольников равен 1.

3. Сформулируйте лемму о подобных треугольниках.

Лемма о подобных треугольниках утверждает следующее:

Прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него треугольник, подобный данному.

Например, если в треугольнике $\triangle ABC$ провести прямую $DE$, параллельную стороне $AC$, так, что точка $D$ лежит на стороне $AB$, а точка $E$ — на стороне $BC$, то полученный треугольник $\triangle DBE$ будет подобен исходному треугольнику $\triangle ABC$ ($\triangle DBE \sim \triangle ABC$).

Ответ: Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие стороны, отсекает от данного треугольника треугольник, подобный данному.