Номер 13.21, страница 102 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.21. В окружность вписан квадрат $ABCD$. Хорда $AE$ пересекает сторону $CD$ в точке $M$, а хорда $BE$ — в точке $K$. Докажите, что $DM : MK = DE : EK$.

13.21. В окружность вписан квадрат $ABCD$. Хорда $AE$ пересекает сторону $CD$ в точке $M$, а хорда $BE$ — в точке $K$. Докажите, что $DM : MK = DE : EK$.

Рассмотрим треугольник $\triangle DKE$. Точки $D$, $M$, $K$ лежат на одной прямой, так как все они принадлежат стороне $CD$ квадрата. Отрезок $EM$ является чевианой этого треугольника, проведенной из вершины $E$ к стороне $DK$ (или ее продолжению).

Требуется доказать соотношение $\frac{DM}{MK} = \frac{DE}{EK}$. Согласно теореме о биссектрисе угла треугольника, такое соотношение выполняется, если отрезок $EM$ является биссектрисой угла $\angle DEK$. Докажем это.

Поскольку $ABCD$ — квадрат, вписанный в окружность, то дуги, стягиваемые его сторонами, равны между собой и составляют четверть окружности:

$\cup AB = \cup BC = \cup CD = \cup DA = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$.

Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается. Угол $\angle DEA$ опирается на дугу $DA$, а угол $\angle BEA$ опирается на дугу $AB$.

Следовательно, можем найти величины этих углов:

$\angle DEA = \frac{1}{2} \cup DA = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

$\angle BEA = \frac{1}{2} \cup AB = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

Таким образом, мы получили, что $\angle DEA = \angle BEA = 45^\circ$. Это означает, что луч $AE$ является биссектрисой угла $\angle DEB$.

Теперь вернемся к треугольнику $\triangle DKE$.

Точка $M$ лежит на хорде $AE$, поэтому луч $EM$ совпадает с лучом $AE$.

Точка $K$ лежит на хорде $BE$, поэтому луч $EK$ совпадает с лучом $EB$.

Следовательно, угол $\angle DEK$ совпадает с углом $\angle DEB$, а луч $EM$ (совпадающий с $AE$) является биссектрисой угла $\angle DEK$.

По теореме о биссектрисе угла треугольника, биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Применяя эту теорему к треугольнику $\triangle DKE$ и его биссектрисе $EM$, получаем:

$\frac{DM}{MK} = \frac{DE}{EK}$

Это соотношение эквивалентно записи $DM : MK = DE : EK$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.