Номер 13.22, страница 102 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.22. В окружность вписан равносторонний треугольник $ABC$. Хорда $AP$ пересекает медиану $BD$ в точке $K$ так, что $BK : KD = 1 : 6$. Найдите отношение $BP : PC$.

13.22. В окружность вписан равносторонний треугольник $ABC$. Хорда $AP$ пересекает медиану $BD$ в точке $K$ так, что $BK : KD = 1 : 6$.

Найдите отношение $BP : PC$.

Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний, его медиана $BD$ является также высотой и биссектрисой. Следовательно, $BD \perp AC$, что означает $\angle BDA = 90^\circ$. Также $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, поэтому $\angle ABD = \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Длины хорд $BP$ и $PC$ в описанной окружности пропорциональны синусам вписанных углов, которые на них опираются. Пусть $R$ — радиус описанной окружности. Тогда $BP = 2R \sin(\angle BAP)$ и $PC = 2R \sin(\angle PAC)$. Отсюда искомое отношение $\frac{BP}{PC} = \frac{\sin(\angle BAP)}{\sin(\angle PAC)}$.

Рассмотрим треугольник $ABK$. По теореме синусов имеем $\frac{AK}{\sin(\angle ABK)} = \frac{BK}{\sin(\angle BAK)}$. Учитывая, что $\angle ABK = 30^\circ$ и $\angle BAK = \angle BAP$, получаем $\frac{AK}{\sin(30^\circ)} = \frac{BK}{\sin(\angle BAP)}$, откуда следует, что $AK = \frac{BK \cdot \sin(30^\circ)}{\sin(\angle BAP)} = \frac{BK}{2 \sin(\angle BAP)}$.

Теперь рассмотрим треугольник $ADK$. В нем $\angle ADK = 90^\circ$ и $\angle DAK = \angle PAC$ (так как точка $D$ лежит на стороне $AC$). По теореме синусов для $\triangle ADK$: $\frac{AK}{\sin(\angle ADK)} = \frac{KD}{\sin(\angle DAK)}$. Подставляя известные углы, получаем $\frac{AK}{\sin(90^\circ)} = \frac{KD}{\sin(\angle PAC)}$, откуда $AK = \frac{KD}{\sin(\angle PAC)}$.

Приравняем два полученных выражения для длины отрезка $AK$: $\frac{BK}{2 \sin(\angle BAP)} = \frac{KD}{\sin(\angle PAC)}$.

Выразим из этого равенства искомое отношение синусов: $\frac{\sin(\angle BAP)}{\sin(\angle PAC)} = \frac{BK}{2 \cdot KD}$.

По условию задачи $BK : KD = 1 : 6$, то есть $\frac{BK}{KD} = \frac{1}{6}$. Подставим это значение в полученную формулу: $\frac{BP}{PC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{BK}{KD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$.

Ответ: $1:12$.