Номер 13.19, страница 102 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.19. Постройте треугольник:

1) по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам;

2) по высоте, проведённой к одной из сторон, и медианам, проведённым к двум другим сторонам.

13.19. Постройте треугольник:

1) по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам;

2) по высоте, проведённой к одной из сторон, и медианам, проведённым к двум другим сторонам.

1) по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам

Пусть требуется построить треугольник $ABC$ по стороне $BC=a$, медиане к стороне $AC$ $m_b$ и медиане к стороне $AB$ $m_c$.

Анализ

Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центроиде), обозначим ее $O$, и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, $BO = \frac{2}{3}m_b$ и $CO = \frac{2}{3}m_c$.Рассмотрим треугольник $BOC$. В этом треугольнике известны длины всех трех сторон: $BC=a$, $BO = \frac{2}{3}m_b$, $CO = \frac{2}{3}m_c$. Таким образом, мы можем построить треугольник $BOC$ по трем сторонам.

После построения треугольника $BOC$ мы получим вершины $B$ и $C$ искомого треугольника, а также его центроид $O$. Остается найти вершину $A$.Пусть $A_1$ — середина стороны $BC$. Отрезок $AA_1$ является медианой треугольника $ABC$, и она проходит через точку $O$. При этом, свойство точки пересечения медиан гласит, что $AO = 2 \cdot OA_1$. Точку $A_1$ легко построить, найдя середину отрезка $BC$. Затем можно построить искомую вершину $A$, продолжив отрезок $A_1O$ за точку $O$ и отложив на этом луче отрезок $OA$ длиной $2 \cdot OA_1$.

Построение

1. Построить отрезки длиной $\frac{2}{3}m_b$ и $\frac{2}{3}m_c$. Для этого необходимо разделить данные отрезки $m_b$ и $m_c$ в отношении 2:1, что можно сделать с помощью теоремы Фалеса.
2. Построить треугольник $BOC$ по трем сторонам: $BC=a$, $BO=\frac{2}{3}m_b$, $CO=\frac{2}{3}m_c$. Такое построение возможно, если для длин этих сторон выполняются неравенства треугольника.
3. Найти середину $A_1$ стороны $BC$ (построением серединного перпендикуляра).
4. Провести луч $A_1O$.
5. На луче $A_1O$ отложить от точки $O$ отрезок $OA$ так, чтобы $OA = 2 \cdot OA_1$. Точка $A$ будет третьей вершиной искомого треугольника.
6. Соединить точки $A, B, C$.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ равна $a$ по построению. $A_1$ — середина $BC$, значит $AA_1$ — медиана. Точка $O$ лежит на этой медиане, и по построению $AO = 2 \cdot OA_1$, следовательно, $O$ — точка пересечения медиан (центроид) треугольника $ABC$. Медиана из вершины $B$ также проходит через точку $O$. Длина отрезка $BO$ по построению равна $\frac{2}{3}m_b$. Так как $O$ — центроид, то длина всей медианы из вершины $B$ равна $\frac{3}{2}BO = \frac{3}{2} \cdot (\frac{2}{3}m_b) = m_b$. Аналогично, медиана из вершины $C$ проходит через $O$. Длина отрезка $CO$ по построению равна $\frac{2}{3}m_c$. Длина всей медианы из вершины $C$ равна $\frac{3}{2}CO = \frac{3}{2} \cdot (\frac{2}{3}m_c) = m_c$. Таким образом, построенный треугольник $ABC$ имеет заданную сторону и заданные медианы.

Ответ: Треугольник $ABC$ построен.

2) по высоте, проведённой к одной из сторон, и медианам, проведённым к двум другим сторонам

Пусть требуется построить треугольник $ABC$ по высоте $h_a$, проведенной к стороне $BC$, медиане к стороне $AC$ $m_b$ и медиане к стороне $AB$ $m_c$.

Анализ

Пусть $AH = h_a$ — высота к прямой $BC$. Пусть $B_1$ — середина $AC$ и $C_1$ — середина $AB$. Опустим из точек $B_1$ и $C_1$ перпендикуляры на прямую $BC$, пусть их основаниями будут точки $K$ и $L$ соответственно. Тогда $B_1K$ и $C_1L$ являются средними линиями трапеций (или треугольников с вершиной $A$) и их длины равны $\frac{1}{2}AH = \frac{h_a}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BKB_1$. Его гипотенуза $BB_1 = m_b$, а катет $B_1K = \frac{h_a}{2}$. Второй катет $BK$, являющийся проекцией медианы $m_b$ на прямую $BC$, можно найти по теореме Пифагора: $BK = \sqrt{m_b^2 - (\frac{h_a}{2})^2} = \frac{1}{2}\sqrt{4m_b^2 - h_a^2}$.

Аналогично, из прямоугольного треугольника $CLC_1$ найдем проекцию медианы $m_c$ на прямую $BC$: $CL = \sqrt{m_c^2 - (\frac{h_a}{2})^2} = \frac{1}{2}\sqrt{4m_c^2 - h_a^2}$.

Обозначим $K_b = \sqrt{4m_b^2 - h_a^2}$ и $K_c = \sqrt{4m_c^2 - h_a^2}$. Тогда длины проекций медиан равны $\frac{K_b}{2}$ и $\frac{K_c}{2}$. Эти отрезки можно построить циркулем и линейкой.

Выразим теперь длины отрезков на прямой $BC$ через координаты. Пусть $H$ — начало координат $(0)$, а координаты точек $B$ и $C$ на этой прямой равны $b$ и $c$. Проекция точки $B_1$ (середины $AC$) на прямую $BC$ имеет координату $\frac{c}{2}$. Тогда длина проекции $BK$ равна $|\frac{c}{2} - b| = \frac{|c-2b|}{2}$. Аналогично, проекция $C_1$ имеет координату $\frac{b}{2}$, а длина проекции $CL$ равна $|c - \frac{b}{2}| = \frac{|2c-b|}{2}$.

Получаем систему уравнений:$|c-2b| = K_b$$|2c-b| = K_c$Решая эту систему (например, раскрывая модули), можно найти значения $b$ и $c$. Одно из решений для длин отрезков $HB=|b|$ и $HC=|c|$ (когда $B$ и $C$ по одну сторону от $H$) дает: $HB = \frac{2K_b+K_c}{3}$ и $HC = \frac{K_b+2K_c}{3}$. Эти отрезки мы можем построить.

Построение

1. Построить отрезки $2m_b$ и $2m_c$.
2. Построить прямоугольный треугольник с гипотенузой $2m_b$ и катетом $h_a$. Второй катет будет иметь длину $K_b = \sqrt{(2m_b)^2 - h_a^2}$. Построение возможно, если $2m_b > h_a$.
3. Аналогично построить отрезок $K_c = \sqrt{(2m_c)^2 - h_a^2}$. Построение возможно, если $2m_c > h_a$.
4. Построить отрезки $x = \frac{2K_b+K_c}{3}$ и $y = \frac{K_b+2K_c}{3}$. Для этого нужно сначала построить суммы $2K_b+K_c$ и $K_b+2K_c$, а затем разделить полученные отрезки на три равные части (например, с помощью теоремы Фалеса).
5. Провести прямую $l$. Выбрать на ней произвольную точку $H$.
6. Восставить в точке $H$ перпендикуляр к прямой $l$ и отложить на нем отрезок $AH = h_a$.
7. На прямой $l$ отложить по одну сторону от точки $H$ отрезки $HB=x$ и $HC=y$.
8. Соединить точки $A, B, C$.

Доказательство

По построению, высота из вершины $A$ на сторону $BC$ равна $AH=h_a$. Проверим длины медиан. Пусть $H$ в начале координат, $A=(0, h_a)$, $B=(x,0)$, $C=(y,0)$, где $x = \frac{2K_b+K_c}{3}$ и $y = \frac{K_b+2K_c}{3}$.Середина $AC$ — точка $B_1$ с координатами $(\frac{y}{2}, \frac{h_a}{2})$. Квадрат медианы $m_b$:$BB_1^2 = (x - \frac{y}{2})^2 + (0 - \frac{h_a}{2})^2 = (\frac{2x-y}{2})^2 + \frac{h_a^2}{4}$.$2x-y = 2(\frac{2K_b+K_c}{3}) - \frac{K_b+2K_c}{3} = \frac{4K_b+2K_c-K_b-2K_c}{3} = K_b$.Тогда $BB_1^2 = (\frac{K_b}{2})^2 + \frac{h_a^2}{4} = \frac{K_b^2+h_a^2}{4} = \frac{(4m_b^2 - h_a^2)+h_a^2}{4} = m_b^2$.Длина медианы $m_b$ верна. Аналогично доказывается, что длина медианы из вершины $C$ равна $m_c$. Таким образом, построенный треугольник является искомым.

Ответ: Треугольник $ABC$ построен.