Номер 13.24, страница 103 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.24. Постройте треугольник по углу, медиане, выходящей из вершины этого угла, и другой медиане.

13.24. Постройте треугольник по углу, медиане, выходящей из вершины этого угла, и другой медиане.

Для построения искомого треугольника $ABC$ воспользуемся методом подобия. Сначала определим форму треугольника (соотношение сторон), а затем масштабируем его до нужных размеров, используя данные длины медиан.

Анализ

Пусть дан треугольник $ABC$ с углом $\angle A = \alpha$, медианой $m_a$, проведенной из вершины $A$, и медианой $m_b$, проведенной из вершины $B$. Обозначим длины сторон $AC=b$ и $AB=c$. Форма треугольника определяется углом $\alpha$ и отношением сторон $k = c/b$. Наша задача — найти это отношение $k$.

Воспользуемся формулами для длин медиан треугольника:

$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

$m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}$

По теореме косинусов для треугольника $ABC$: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$.

Подставим выражение для $a^2$ в формулу для $m_a^2$:

$4m_a^2 = 2b^2 + 2c^2 - (b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha) = b^2 + c^2 + 2bc \cos \alpha$.

Теперь подставим выражение для $a^2$ в формулу для $m_b^2$:

$4m_b^2 = 2(b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha) + 2c^2 - b^2 = 2b^2 + 2c^2 - 4bc \cos \alpha + 2c^2 - b^2 = b^2 + 4c^2 - 4bc \cos \alpha$.

Мы получили систему из двух уравнений:

1) $4m_a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cos \alpha$

2) $4m_b^2 = b^2 + 4c^2 - 4bc \cos \alpha$

Разделим оба уравнения на $b^2$ и заменим $c/b$ на $k$:

1) $4\frac{m_a^2}{b^2} = 1 + k^2 + 2k \cos \alpha$

2) $4\frac{m_b^2}{b^2} = 1 + 4k^2 - 4k \cos \alpha$

Теперь разделим первое уравнение на второе, чтобы исключить неизвестную величину $b$:

$\frac{m_a^2}{m_b^2} = \frac{1 + k^2 + 2k \cos \alpha}{1 + 4k^2 - 4k \cos \alpha}$

Преобразуем это уравнение в квадратное уравнение относительно $k$:

$m_a^2(1 + 4k^2 - 4k \cos \alpha) = m_b^2(1 + k^2 + 2k \cos \alpha)$

$m_a^2 + 4m_a^2 k^2 - 4m_a^2 k \cos \alpha = m_b^2 + m_b^2 k^2 + 2m_b^2 k \cos \alpha$

$k^2(4m_a^2 - m_b^2) - k(4m_a^2 \cos \alpha + 2m_b^2 \cos \alpha) + (m_a^2 - m_b^2) = 0$

$k^2(4m_a^2 - m_b^2) - 2k \cos \alpha (2m_a^2 + m_b^2) + (m_a^2 - m_b^2) = 0$

Все коэффициенты в этом квадратном уравнении $(A k^2 - B k + C = 0)$ могут быть построены с помощью циркуля и линейки, так как они состоят из квадратов длин данных отрезков и $\cos \alpha$ (который также является отношением длин и может быть построен). Следовательно, и корни этого уравнения (отношение $k$) также могут быть построены.

Ответ: Анализ показывает, что задача сводится к построению отношения сторон $k=c/b$, которое является решением конструктивного квадратного уравнения.

Построение

1. Построение отношения $k$. Решаем квадратное уравнение $A k^2 - B k + C = 0$, где $A = 4m_a^2 - m_b^2$, $B = 2(2m_a^2 + m_b^2)\cos\alpha$ и $C = m_a^2 - m_b^2$. Построение корней такого уравнения является стандартной, хотя и громоздкой задачей, и выполняется путем построения отрезков, представляющих коэффициенты $A, B, C$ (как площади), и последующего геометрического решения. В результате получаем отрезок длины $k$ (или два таких отрезка, если уравнение имеет два положительных корня).
2. Построение подобного треугольника $A'B'C'$.
   • Строим угол, равный данному углу $\alpha$, с вершиной в точке $A'$.
   • На одной стороне угла откладываем произвольный отрезок $A'C'$.
   • На другой стороне угла откладываем отрезок $A'B'$ так, чтобы отношение $A'B' / A'C' = k$. Это можно сделать, используя построенный на шаге 1 отрезок $k$ и построение четвертого пропорционального отрезка.
   • Соединяем точки $B'$ и $C'$, получаем треугольник $A'B'C'$.
3. Масштабирование.
   • В построенном треугольнике $A'B'C'$ проводим медиану $A'M_{a'}$ и измеряем ее длину $m_a'$.
   • Находим масштабирующий коэффициент $S = m_a / m_a'$. Этот коэффициент можно построить как отношение двух отрезков.
   • Строим искомые длины сторон: $b = S \cdot A'C'$ и $c = S \cdot A'B'$.
4. Построение искомого треугольника $ABC$.
   • Строим угол, равный $\alpha$, с вершиной в точке $A$.
   • На одной стороне угла откладываем отрезок $AC$ длиной $b$.
   • На другой стороне угла откладываем отрезок $AB$ длиной $c$.
   • Соединяем точки $B$ и $C$.

Треугольник $ABC$ является искомым.

Ответ: План построения состоит из четырех основных шагов: нахождение отношения сторон, построение подобного треугольника, его масштабирование и построение итогового треугольника.

Доказательство

Построенный треугольник $ABC$ имеет угол $\angle A = \alpha$ по построению. Стороны $b=AC$ и $c=AB$ построены так, что их отношение $c/b = k$, где $k$ — корень выведенного в анализе квадратного уравнения.

Треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A'B'C'$ с коэффициентом подобия $S = m_a / m_a'$. Следовательно, все их соответствующие линейные элементы относятся так же. В частности, медиана $m_a$ треугольника $ABC$ равна $S \cdot m_a' = (m_a / m_a') \cdot m_a' = m_a$. Таким образом, одна из медиан имеет заданную длину.

Отношение квадратов медиан $\frac{m_a^2}{m_b^2}$ зависит только от угла $\alpha$ и отношения сторон $k$. Поскольку мы выбрали $k$ именно из этого уравнения, то в построенном треугольнике $ABC$ будет выполняться равенство $\frac{(m_a)_{ABC}^2}{(m_b)_{ABC}^2} = \frac{m_a^2}{m_b^2}$ (где $(m_a)_{ABC}, (m_b)_{ABC}$ — медианы построенного треугольника, а $m_a, m_b$ — данные длины).

Так как $(m_a)_{ABC} = m_a$, из этого следует, что $(m_b)_{ABC}^2 = m_b^2$, и, следовательно, $(m_b)_{ABC} = m_b$. Таким образом, вторая медиана также имеет заданную длину.

Следовательно, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Доказательство основано на том, что построенный треугольник по определению имеет заданный угол и отношение сторон, а масштабирование обеспечивает правильную длину одной медианы, из чего следует правильная длина и второй медианы в силу выбора отношения сторон.

Исследование

Задача имеет решение, если квадратное уравнение $k^2(4m_a^2 - m_b^2) - 2k \cos \alpha (2m_a^2 + m_b^2) + (m_a^2 - m_b^2) = 0$ имеет хотя бы один положительный действительный корень $k$.

Число решений (0, 1 или 2) зависит от знаков коэффициентов и дискриминанта $\Delta$ этого уравнения.

$\Delta = [2 \cos \alpha (2m_a^2 + m_b^2)]^2 - 4(4m_a^2 - m_b^2)(m_a^2 - m_b^2)$.

Для существования действительных корней необходимо, чтобы $\Delta \geq 0$. Каждому положительному корню $k$ соответствует одно решение (один треугольник). В общем случае, в зависимости от соотношения между $m_a$, $m_b$ и углом $\alpha$, задача может не иметь решений, иметь одно или два решения (два неконгруэнтных треугольника, удовлетворяющих условию).

Например, если $2m_a < m_b$, то коэффициент при $k^2$ отрицателен, а если $m_a > m_b$, то свободный член положителен. Анализ всех случаев довольно громоздкий, но он показывает, что количество решений зависит от исходных данных.

Ответ: Задача может иметь 0, 1 или 2 решения в зависимости от численных соотношений между данными величинами (угол $\alpha$ и длины медиан $m_a$, $m_b$).