Номер 13.23, страница 103 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.23. Докажите, что если $m_1, m_2$ и $m_3$ — длины медиан треугольника,

$p$ — его полупериметр, то $m_1 + m_2 + m_3 > \frac{3}{2}p$.

13.23. Докажите, что если $m_1$, $m_2$ и $m_3$ — длины медиан треугольника,

$p$ — его полупериметр, то $m_1 + m_2 + m_3 > \frac{3}{2} p$.

Пусть в треугольнике со сторонами $a, b, c$ медианы, проведенные к этим сторонам, равны $m_1, m_2, m_3$ соответственно. Полупериметр треугольника $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке (центроиде) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Обозначим центроид буквой $O$, а вершины треугольника $A, B, C$. Пусть медиана $m_1$ проведена из вершины $A$, $m_2$ — из $B$, $m_3$ — из $C$. Тогда отрезки, соединяющие центроид с вершинами, имеют длины: $AO = \frac{2}{3}m_1$, $BO = \frac{2}{3}m_2$, $CO = \frac{2}{3}m_3$.

Рассмотрим три треугольника, образованных центроидом и вершинами исходного треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$ и $\triangle COA$. Для каждого из них справедливо неравенство треугольника (сумма длин двух любых сторон больше длины третьей стороны). Запишем эти неравенства:
1. В $\triangle AOB$ со сторонами $AO$, $BO$ и $AB=c$: $AO + BO > AB \implies \frac{2}{3}m_1 + \frac{2}{3}m_2 > c$.
2. В $\triangle BOC$ со сторонами $BO$, $CO$ и $BC=a$: $BO + CO > BC \implies \frac{2}{3}m_2 + \frac{2}{3}m_3 > a$.
3. В $\triangle COA$ со сторонами $CO$, $AO$ и $CA=b$: $CO + AO > CA \implies \frac{2}{3}m_3 + \frac{2}{3}m_1 > b$.

Сложим почленно левые и правые части этих трех неравенств:
$(\frac{2}{3}m_1 + \frac{2}{3}m_2) + (\frac{2}{3}m_2 + \frac{2}{3}m_3) + (\frac{2}{3}m_3 + \frac{2}{3}m_1) > a + b + c$.

Упростим левую часть, сгруппировав подобные члены:
$\frac{4}{3}m_1 + \frac{4}{3}m_2 + \frac{4}{3}m_3 > a + b + c$
$\frac{4}{3}(m_1 + m_2 + m_3) > a + b + c$.

Сумма сторон $a + b + c$ является периметром треугольника. По определению, полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$, следовательно, периметр $a+b+c = 2p$. Подставим это выражение в наше неравенство:
$\frac{4}{3}(m_1 + m_2 + m_3) > 2p$.

Наконец, чтобы выразить сумму длин медиан, умножим обе части неравенства на $\frac{3}{4}$:
$m_1 + m_2 + m_3 > 2p \cdot \frac{3}{4}$
$m_1 + m_2 + m_3 > \frac{6}{4}p$
$m_1 + m_2 + m_3 > \frac{3}{2}p$.

Неравенство доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.