Номер 13.16, страница 102 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.16. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $BC$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$. Докажите, что если $DM \perp AC$, то $BN : CD = 3 : 2$.

13.16. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $BC$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$. Докажите, что если $DM \perp AC$, то $BN : CD = 3 : 2$.

Для решения данной задачи воспользуемся векторным методом. Пусть точка $A$ будет началом координат. Введем базисные векторы, соответствующие двум смежным сторонам параллелограмма: $\vec{AD} = \vec{a}$ и $\vec{AB} = \vec{b}$.

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{a}$ и $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{b}$.

Выразим векторы $\vec{AC}$ и $\vec{DM}$ через базисные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

$\vec{AC} = \vec{AD} + \vec{DC} = \vec{a} + \vec{b}$.

Точка $M$ является серединой стороны $BC$, следовательно, $\vec{BM} = \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{a}$. Тогда вектор $\vec{AM}$ можно выразить как сумму векторов: $\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}$.

Теперь найдем вектор $\vec{DM}$: $\vec{DM} = \vec{AM} - \vec{AD} = (\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}) - \vec{a} = \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}$.

По условию задачи $DM \perp AC$. Это означает, что скалярное произведение векторов $\vec{DM}$ и $\vec{AC}$ равно нулю: $\vec{DM} \cdot \vec{AC} = 0$.

Подставим векторные выражения в это равенство:

$(\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 0$.

Раскроем скалярное произведение:

$\vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a} \cdot \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Учитывая, что $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$, получим:

$\frac{1}{2}(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 - \frac{1}{2}|\vec{a}|^2 = 0$.

Умножим обе части уравнения на 2:

$\vec{a} \cdot \vec{b} + 2|\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2 = 0$.

Из этого уравнения выразим скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - 2|\vec{b}|^2$.

Теперь найдем вектор $\vec{BN}$. Точка $N$ — середина стороны $CD$, значит $\vec{CN} = \frac{1}{2}\vec{CD}$. Так как $\vec{CD} = -\vec{DC} = -\vec{b}$, то $\vec{CN} = -\frac{1}{2}\vec{b}$.

Выразим вектор $\vec{BN}$:

$\vec{BN} = \vec{BC} + \vec{CN} = \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$.

Найдем квадрат длины отрезка $BN$:

$BN^2 = |\vec{BN}|^2 = (\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}) \cdot (\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}) = |\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{1}{4}|\vec{b}|^2$.

Подставим в это выражение найденное ранее соотношение для $\vec{a} \cdot \vec{b}$:

$BN^2 = |\vec{a}|^2 - (|\vec{a}|^2 - 2|\vec{b}|^2) + \frac{1}{4}|\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - |\vec{a}|^2 + 2|\vec{b}|^2 + \frac{1}{4}|\vec{b}|^2 = \frac{9}{4}|\vec{b}|^2$.

Длина стороны $CD$ равна длине вектора $\vec{DC}$, то есть $CD = |\vec{DC}| = |\vec{b}|$. Следовательно, $CD^2 = |\vec{b}|^2$.

Теперь найдем отношение квадратов длин $BN$ и $CD$:

$\frac{BN^2}{CD^2} = \frac{\frac{9}{4}|\vec{b}|^2}{|\vec{b}|^2} = \frac{9}{4}$.

Так как длины отрезков — положительные величины, извлечем квадратный корень:

$\frac{BN}{CD} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.

Таким образом, $BN : CD = 3 : 2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.