Номер 13.10, страница 101 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.10. Докажите, что если две медианы треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный.

13.10. Докажите, что если две медианы треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный.

Пусть в треугольнике $\triangle ABC$ проведены две медианы $AM_1$ к стороне $BC$ и $BM_2$ к стороне $AC$. По условию задачи, эти медианы равны: $AM_1 = BM_2$. Необходимо доказать, что треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным, то есть что стороны $AC$ и $BC$ равны.

Медианы любого треугольника пересекаются в одной точке (назовем ее $O$), которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Следовательно, для медианы $AM_1$ справедливо соотношение $AO = \frac{2}{3} AM_1$ и $OM_1 = \frac{1}{3} AM_1$. Аналогично для медианы $BM_2$ имеем $BO = \frac{2}{3} BM_2$ и $OM_2 = \frac{1}{3} BM_2$.

Так как по условию $AM_1 = BM_2$, то и соответствующие части этих медиан, на которые их делит точка $O$, равны между собой:
$AO = \frac{2}{3} AM_1 = \frac{2}{3} BM_2 = BO$
$OM_1 = \frac{1}{3} AM_1 = \frac{1}{3} BM_2 = OM_2$

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AOM_2$ и $\triangle BOM_1$. В этих треугольниках:

• Сторона $AO$ равна стороне $BO$ (доказано выше).
• Сторона $OM_2$ равна стороне $OM_1$ (доказано выше).
• Угол $\angle AOM_2$ равен углу $\angle BOM_1$ (так как они являются вертикальными).

Следовательно, $\triangle AOM_2 \cong \triangle BOM_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AM_2 = BM_1$.

По определению медианы, точка $M_2$ является серединой стороны $AC$, поэтому $AM_2 = \frac{1}{2} AC$. Аналогично, точка $M_1$ является серединой стороны $BC$, поэтому $BM_1 = \frac{1}{2} BC$.

Подставив эти выражения в равенство $AM_2 = BM_1$, получаем:
$\frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} BC$
Отсюда следует, что $AC = BC$.

Поскольку в треугольнике $\triangle ABC$ две стороны ($AC$ и $BC$) равны, он является равнобедренным. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Если две медианы треугольника равны, то стороны, к которым они проведены, также равны между собой. Следовательно, такой треугольник является равнобедренным.