Номер 13.15, страница 102 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.15. В треугольнике $ABC$ медианы, проведённые из вершин $A$ и $C$, перпендикулярны. Найдите отношение медианы $BM$ к стороне $AC$.

13.15. В треугольнике $ABC$ медианы, проведённые из вершин $A$ и $C$, перпендикулярны. Найдите отношение медианы $BM$ к стороне $AC$.

Пусть в треугольнике $ABC$ медианы $AA_1$ и $CC_1$ проведены из вершин $A$ и $C$ соответственно. Медиана, проведенная из вершины $B$, по условию, обозначается как $BM$, где $M$ — середина стороны $AC$.

Все три медианы треугольника ($AA_1$, $BM$ и $CC_1$) пересекаются в одной точке $O$, которая является центроидом треугольника.

По условию задачи, медианы, проведенные из вершин $A$ и $C$, перпендикулярны. Это означает, что $AA_1 \perp CC_1$, и, следовательно, угол между ними в точке их пересечения $O$ равен $90^\circ$. Таким образом, $\triangle AOC$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $O$.

Поскольку $M$ — середина стороны $AC$, отрезок $OM$ является медианой прямоугольного треугольника $\triangle AOC$, проведенной из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $AC$.

По свойству медианы, проведенной к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, ее длина равна половине длины гипотенузы. Следовательно:

$OM = \frac{1}{2} AC$

Также известно, что центроид $O$ делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Для медианы $BM$ это свойство записывается как:

$BO : OM = 2 : 1$

Из этого соотношения следует, что $BO = 2 \cdot OM$.

Длина всей медианы $BM$ равна сумме длин ее частей $BO$ и $OM$:

$BM = BO + OM = 2 \cdot OM + OM = 3 \cdot OM$

Теперь подставим ранее найденное выражение для $OM$ в эту формулу:

$BM = 3 \cdot \left(\frac{1}{2} AC\right) = \frac{3}{2} AC$

Чтобы найти отношение медианы $BM$ к стороне $AC$, разделим обе части последнего равенства на $AC$:

$\frac{BM}{AC} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$.