Номер 13.12, страница 102 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.12. Даны отрезок $AB$ и точка $O$, не принадлежащая прямой $AB$. Постройте треугольник, для которого отрезок $AB$ является стороной, а точка $O$ — точкой пересечения медиан.

13.12. Даны отрезок $AB$ и точка $O$, не принадлежащая прямой $AB$. Постройте треугольник, для которого отрезок $AB$ является стороной, а точка $O$ — точкой пересечения медиан.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством точки пересечения медиан треугольника (центроида). Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Пусть искомый треугольник – это $ABC$, где $AB$ – заданная сторона. Пусть $M$ – середина стороны $AB$. Тогда отрезок $CM$ является медианой этого треугольника. Точка $O$, как точка пересечения медиан, должна лежать на отрезке $CM$ и удовлетворять соотношению $CO : OM = 2 : 1$. Это означает, что зная положение середины стороны $M$ и центроида $O$, мы можем однозначно определить положение третьей вершины $C$.

Алгоритм построения искомого треугольника:

1. Находим середину $M$ отрезка $AB$. Это стандартная задача на построение, решаемая с помощью циркуля и линейки (построение серединного перпендикуляра).
2. Соединяем точки $M$ и $O$ и проводим луч с началом в точке $M$, проходящий через точку $O$. Вершина $C$ будет лежать на этом луче.
3. На луче $MO$ откладываем от точки $O$ отрезок $OC$ в сторону, противоположную точке $M$, так, чтобы его длина была в два раза больше длины отрезка $OM$. То есть, $OC = 2 \cdot OM$. Практически это можно сделать, измерив циркулем расстояние $OM$ и отложив его дважды от точки $O$ по лучу $MO$. Полученная точка $C$ и будет третьей вершиной треугольника.
4. Соединяем точку $C$ с точками $A$ и $B$ отрезками.

Треугольник $ABC$ построен. Он является искомым, так как $AB$ – его сторона по условию. $CM$ – его медиана, поскольку $M$ – середина $AB$. Точка $O$ лежит на этой медиане и, по построению, делит её в отношении $CO : OM = 2 : 1$. Следовательно, $O$ является точкой пересечения медиан треугольника $ABC$.

Ответ: Искомый треугольник $ABC$ строится следующим образом: 1) Найти середину $M$ отрезка $AB$. 2) Провести луч $MO$. 3) На луче $MO$ отложить отрезок $OC$ так, чтобы точка $O$ находилась между $M$ и $C$, и выполнялось равенство $OC = 2 \cdot OM$. 4) Соединить точки $A, B$ и $C$.