Номер 13.11, страница 102 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.11. В треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) проведены медиана $AM$ и высота $BH$. Найдите высоту $BH$, если $AM = 45$ см, $\angle CAM = 30^\circ$.

13.11. В треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) проведены медиана $AM$ и высота $BH$. Найдите высоту $BH$, если $AM = 45$ см, $\angle CAM = 30^\circ$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB = BC$), в котором проведены медиана $AM$ и высота $BH$. По условию задачи, $AM = 45$ см и $\angle CAM = 30^\circ$.

Для решения задачи воспользуемся дополнительным построением. Проведём из точки $M$, которая является серединой стороны $BC$, перпендикуляр $MK$ к стороне $AC$.

Поскольку высота $BH$ по определению перпендикулярна стороне $AC$, а $MK$ перпендикулярна $AC$ по построению, то прямые $BH$ и $MK$ параллельны ($BH \parallel MK$).

Теперь рассмотрим треугольник $BHC$. В нём отрезок $MK$ соединяет середину стороны $BC$ (точку $M$) с точкой $K$ на стороне $HC$, причём $MK \parallel BH$. Согласно теореме о средней линии треугольника, $MK$ является средней линией треугольника $BHC$. Это означает, что длина $MK$ равна половине длины $BH$.

$MK = \frac{1}{2} BH$

Далее рассмотрим прямоугольный треугольник $AMK$ (угол $\angle AKM = 90^\circ$, так как $MK \perp AC$). В этом треугольнике известны гипотенуза $AM = 45$ см и угол $\angle KAM = \angle CAM = 30^\circ$.

Катет $MK$, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы, либо его можно найти через синус угла $\angle KAM$:

$MK = AM \cdot \sin(\angle KAM)$

Подставим известные значения:

$MK = 45 \cdot \sin(30^\circ) = 45 \cdot \frac{1}{2} = 22.5$ см.

Наконец, зная длину $MK$, мы можем найти высоту $BH$ из соотношения, полученного ранее:

$BH = 2 \cdot MK = 2 \cdot 22.5 = 45$ см.

Ответ: 45 см.