Номер 13.7, страница 101 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.7. Стороны треугольника равны 39 см, 65 см и 80 см. Окружность, центр которой принадлежит большей стороне треугольника, касается двух других его сторон. На какие отрезки центр этой окружности делит сторону треугольника?

13.7. Стороны треугольника равны 39 см, 65 см и 80 см. Окружность, центр которой принадлежит большей стороне треугольника, касается двух других его сторон. На какие отрезки центр этой окружности делит сторону треугольника?

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором стороны $AC = 39$ см, $BC = 65$ см и $AB = 80$ см. Большая сторона треугольника — $AB$.

По условию, центр окружности, назовем его точкой $O$, лежит на большей стороне $AB$. Окружность касается двух других сторон, $AC$ и $BC$.

Поскольку окружность с центром в точке $O$ касается сторон $AC$ и $BC$, точка $O$ равноудалена от этих сторон. Множество точек, равноудаленных от сторон угла, является его биссектрисой. Следовательно, точка $O$ лежит на биссектрисе угла $C$ треугольника $ABC$.

Таким образом, отрезок $CO$ является биссектрисой угла $C$. Согласно свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника. Для нашего случая это означает:

$\frac{AO}{OB} = \frac{AC}{BC}$

Подставим известные длины сторон в это соотношение:

$\frac{AO}{OB} = \frac{39}{65}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 13:

$\frac{AO}{OB} = \frac{39 \div 13}{65 \div 13} = \frac{3}{5}$

Мы знаем, что точка $O$ делит сторону $AB$ на два отрезка, $AO$ и $OB$, и их сумма равна длине стороны $AB$:

$AO + OB = 80$ см

Из полученной пропорции $\frac{AO}{OB} = \frac{3}{5}$ можно выразить $AO$ через $OB$: $AO = \frac{3}{5}OB$. Подставим это выражение в сумму:

$\frac{3}{5}OB + OB = 80$

$\frac{8}{5}OB = 80$

$OB = 80 \cdot \frac{5}{8}$

$OB = 10 \cdot 5 = 50$ см

Теперь найдем длину отрезка $AO$:

$AO = 80 - OB = 80 - 50 = 30$ см

Таким образом, центр окружности делит большую сторону треугольника на отрезки длиной 30 см и 50 см.

Ответ: 30 см и 50 см.