Номер 14.2, страница 106 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.2. Известно, что $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$, причём $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $AB = 6$ см, $BC = 7$ см, $AC = 10$ см, $A_1B_1 = 9$ см. Найдите стороны $B_1C_1$ и $A_1C_1$:

14.2. Известно, что $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$, причём $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $AB = 6$ см, $BC = 7$ см, $AC = 10$ см, $A_1B_1 = 9$ см. Найдите стороны $B_1C_1$ и $A_1C_1$.

Поскольку треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ подобны ($\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$), их соответственные стороны пропорциональны. Отношение длин соответственных сторон называется коэффициентом подобия $k$.

Из условия задачи следует, что соответственными вершинами являются $A$ и $A_1$, $B$ и $B_1$, $C$ и $C_1$. Таким образом, соответственными сторонами являются $AB$ и $A_1B_1$, $BC$ и $B_1C_1$, $AC$ и $A_1C_1$. Можно записать следующую пропорцию:

$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC} = k$

Найдем коэффициент подобия $k$, используя известные длины сторон $AB = 6$ см и $A_1B_1 = 9$ см:

$k = \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5$

Теперь, зная коэффициент подобия, найдем длины искомых сторон.

B₁C₁

Для нахождения длины стороны $B_1C_1$ воспользуемся пропорцией, связывающей её с соответственной стороной $BC$:

$\frac{B_1C_1}{BC} = k$

Выразим $B_1C_1$ и подставим известные значения $BC = 7$ см и $k = 1.5$:

$B_1C_1 = BC \cdot k = 7 \cdot 1.5 = 10.5$ см.

Ответ: $B_1C_1 = 10.5$ см.

A₁C₁

Аналогично найдем длину стороны $A_1C_1$, используя её соответствие со стороной $AC$:

$\frac{A_1C_1}{AC} = k$

Выразим $A_1C_1$ и подставим известные значения $AC = 10$ см и $k = 1.5$:

$A_1C_1 = AC \cdot k = 10 \cdot 1.5 = 15$ см.

Ответ: $A_1C_1 = 15$ см.