Номер 14.7, страница 106 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.7. Найдите высоту вышки (рис. 14.9), если расстояния от наблюдателя до шеста и до вышки соответственно равны 1,5 м и 39 м, высота шеста — 3 м, а рост наблюдателя — 1,8 м.

Рис. 14.9

14.7. Найдите высоту вышки (рис. 14.9), если расстояния от наблюдателя до шеста и до вышки соответственно равны 1,5 м и 39 м, высота шеста — 3 м, а рост наблюдателя — 1,8 м.

Рис. 14.9

Для решения этой задачи воспользуемся методом подобия треугольников. На рисунке мы можем выделить два прямоугольных треугольника, образованных линией взгляда наблюдателя, горизонтальной линией на уровне его глаз, а также вертикальными линиями шеста и вышки.

Введем обозначения:

• $h_н = 1,8$ м – рост наблюдателя.
• $h_ш = 3$ м – высота шеста.
• $H_в$ – искомая высота вышки.
• $L_ш = 1,5$ м – расстояние от наблюдателя до шеста.
• $L_в = 39$ м – расстояние от наблюдателя до вышки.

Эти два треугольника подобны, так как у них есть общий острый угол (угол, под которым наблюдатель смотрит на верхушки) и оба они прямоугольные.

Найдем высоту части шеста, которая находится выше уровня глаз наблюдателя. Обозначим ее $h_1$:

$h_1 = h_ш - h_н = 3 \text{ м} - 1,8 \text{ м} = 1,2 \text{ м}$

Пусть $H_1$ — это высота части вышки, которая находится выше уровня глаз наблюдателя. Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих катетов равно:

$\frac{h_1}{H_1} = \frac{L_ш}{L_в}$

Подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{1,2}{H_1} = \frac{1,5}{39}$

Выразим и найдем $H_1$:

$H_1 = \frac{1,2 \cdot 39}{1,5} = \frac{46,8}{1,5} = 31,2$ м.

Это высота вышки над уровнем глаз наблюдателя. Чтобы найти полную высоту вышки $H_в$, нужно к полученному значению $H_1$ прибавить рост наблюдателя $h_н$:

$H_в = H_1 + h_н = 31,2 \text{ м} + 1,8 \text{ м} = 33 \text{ м}.$

Ответ: 33 м.