Номер 14.14, страница 107 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.14. На рисунке 14.10 изображены треугольник $ABC$ и вписанный в него ромб $BDEK$. Найдите сторону ромба, если $AB = 10$ см, $BC = 15$ см.

Рис. 14.10

14.14. На рисунке 14.10 изображены треугольник $ABC$ и вписанный в него ромб $BDEK$. Найдите сторону ромба, если $AB = 10$ см, $BC = 15$ см.

Рис. 14.10

Пусть сторона ромба $BDEK$ равна $x$ см. По определению ромба, все его стороны равны, то есть $BD = DE = EK = KB = x$. Также у ромба противоположные стороны параллельны, следовательно, $KE \parallel BC$ и $ED \parallel AB$.

Рассмотрим треугольники $AKE$ и $ABC$. Поскольку сторона ромба $KE$ параллельна стороне треугольника $BC$, то $\triangle AKE \sim \triangle ABC$ по двум углам (угол $A$ — общий, а $\angle AKE = \angle ABC$ как соответственные углы при параллельных прямых $KE$ и $BC$ и секущей $AB$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$\frac{AK}{AB} = \frac{KE}{BC}$

По условию задачи, $AB = 10$ см, $BC = 15$ см. Сторона ромба $KE = x$. Длину отрезка $AK$ можно выразить через сторону ромба: $AK = AB - KB = 10 - x$.

Подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{10 - x}{10} = \frac{x}{15}$

Решим полученное уравнение. Используем свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$15 \cdot (10 - x) = 10 \cdot x$

$150 - 15x = 10x$

$150 = 10x + 15x$

$150 = 25x$

$x = \frac{150}{25}$

$x = 6$

Таким образом, сторона ромба равна 6 см.

Ответ: 6 см.