Номер 14.19, страница 108 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.19. В равнобедренный треугольник, основание которого равно 12 см, а боковая сторона — 18 см, вписана окружность. Найдите расстояние между точками касания этой окружности с боковыми сторонами треугольника.

14.19. В равнобедренный треугольник, основание которого равно 12 см, а боковая сторона — 18 см, вписана окружность. Найдите расстояние между точками касания этой окружности с боковыми сторонами треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = 12$ см и боковыми сторонами $AB = BC = 18$ см. Пусть вписанная в него окружность касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно. Необходимо найти длину отрезка $MN$.

Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, длины отрезков касательных от этой точки до точек касания равны. Таким образом, мы имеем следующие равенства:$AM = AK$,$BM = BN$,$CK = CN$.

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным, точка касания $K$ вписанной окружности с основанием $AC$ является серединой этого основания. Следовательно:$AK = KC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Используя это, найдем длины отрезков на боковых сторонах:$AM = AK = 6$ см.$BM = AB - AM = 18 - 6 = 12$ см.

Так как $BM = BN$, то $BN = 12$ см.

Теперь рассмотрим треугольники $ABC$ и $MBN$. У них есть общий угол $\angle B$. Стороны, образующие этот угол в обоих треугольниках, пропорциональны:$\frac{BM}{AB} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$$\frac{BN}{BC} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$

Поскольку угол $\angle B$ является общим для треугольников $ABC$ и $MBN$, а прилежащие к нему стороны пропорциональны, то эти треугольники подобны ($\triangle MBN \sim \triangle ABC$) по второму признаку подобия треугольников. Коэффициент подобия $k$ равен $\frac{2}{3}$.

Отношение оснований $MN$ и $AC$ этих треугольников также равно коэффициенту подобия:$\frac{MN}{AC} = k = \frac{2}{3}$

Отсюда находим искомое расстояние $MN$:$MN = AC \cdot k = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$ см.

Ответ: 8 см.