Номер 14.18, страница 108 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.18. Периметр равнобедренного треугольника равен 48 см. Через середину высоты треугольника, опущенной на его основание, проведена прямая, параллельная боковой стороне. Найдите периметр треугольника, который эта прямая отсекает от данного.

14.18. Периметр равнобедренного треугольника равен $48 \text{ см}$. Через середину высоты треугольника, опущенной на его основание, проведена прямая, параллельная боковой стороне. Найдите периметр треугольника, который эта прямая отсекает от данного.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Обозначим длины боковых сторон как $b$, а длину основания как $c$. Периметр треугольника $ABC$ равен $P_{ABC} = AB + BC + AC = 2b + c$, и по условию он составляет 48 см.

Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому точка $H$ — середина отрезка $AC$, и $AH = HC = c/2$.

Пусть $M$ — середина высоты $BH$, то есть $BM = MH = BH/2$.

Через точку $M$ проведена прямая, параллельная боковой стороне $BC$. Эта прямая отсекает от треугольника $ABC$ новый треугольник. Чтобы отсечь треугольник с вершиной в точке $A$, прямая должна пересечь стороны $AB$ и $AC$. Обозначим точки пересечения $L$ (на стороне $AB$) и $K$ (на стороне $AC$). Таким образом, нам нужно найти периметр треугольника $ALK$.

Найдем длины сторон треугольника $ALK$ ($AK$, $AL$, $LK$) через стороны треугольника $ABC$.

1. Нахождение длины стороны $AK$.
Рассмотрим треугольник $BHC$. Прямая $LK$ параллельна стороне $BC$, и она пересекает стороны $BH$ и $HC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Следовательно, треугольник $HMK$ подобен треугольнику $HBC$ ($\triangle HMK \sim \triangle HBC$).
Коэффициент подобия равен отношению длин отрезков $HM$ и $HB$. Так как $M$ — середина $BH$, то $HM/HB = 1/2$.
Из подобия следует, что $HK/HC = 1/2$, то есть $HK = \frac{1}{2}HC$.
Длина стороны $AK$ равна сумме длин отрезков $AH$ и $HK$:$AK = AH + HK = HC + \frac{1}{2}HC = \frac{3}{2}HC$.
Поскольку $HC = c/2$, получаем:$AK = \frac{3}{2} \cdot \frac{c}{2} = \frac{3}{4}c$.

2. Нахождение длины стороны $AL$.
Рассмотрим треугольник $ABH$ и секущую $LKM$. Точка $L$ лежит на стороне $AB$, точка $M$ — на стороне $BH$, а точка $K$ — на продолжении стороны $AH$. По теореме Менелая:
$\frac{AL}{LB} \cdot \frac{BM}{MH} \cdot \frac{HK}{KA} = 1$
Так как $M$ — середина $BH$, то $BM = MH$, и отношение $BM/MH = 1$.
Уравнение принимает вид: $\frac{AL}{LB} \cdot \frac{HK}{KA} = 1$, откуда $\frac{AL}{LB} = \frac{KA}{HK}$.
Мы уже нашли, что $KA = AK = \frac{3}{2}HC$ и $HK = \frac{1}{2}HC$. Подставим эти значения:
$\frac{AL}{LB} = \frac{3/2 \cdot HC}{1/2 \cdot HC} = 3$
Следовательно, $AL = 3LB$. Так как $AB = AL + LB$, то $b = 3LB + LB = 4LB$, откуда $LB = b/4$.
Тогда $AL = AB - LB = b - b/4 = \frac{3}{4}b$.

3. Нахождение длины стороны $LK$.
Проведем из точки $L$ перпендикуляр $LJ$ на прямую $AC$. Так как $BH \perp AC$, то $LJ \parallel BH$.
Это означает, что прямоугольный треугольник $ALJ$ подобен прямоугольному треугольнику $ABH$ ($\triangle ALJ \sim \triangle ABH$).
Коэффициент подобия равен $AL/AB = (\frac{3}{4}b)/b = 3/4$.
Следовательно, $AJ = \frac{3}{4}AH$ и $LJ = \frac{3}{4}BH$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $LJK$ с катетами $LJ$ и $JK$. Длина катета $JK$ равна:
$JK = AK - AJ = \frac{3}{2}AH - \frac{3}{4}AH = \frac{3}{4}AH$.
По теореме Пифагора для $\triangle LJK$:
$LK^2 = LJ^2 + JK^2 = (\frac{3}{4}BH)^2 + (\frac{3}{4}AH)^2 = (\frac{3}{4})^2 \cdot (BH^2 + AH^2)$.
В прямоугольном треугольнике $ABH$ по теореме Пифагора $AB^2 = BH^2 + AH^2$, то есть $b^2 = BH^2 + AH^2$.
Подставляя это в выражение для $LK^2$, получаем: $LK^2 = (\frac{3}{4})^2 \cdot b^2$.
Отсюда $LK = \frac{3}{4}b$.

4. Вычисление периметра треугольника $ALK$.
Периметр $P_{ALK}$ равен сумме длин его сторон:
$P_{ALK} = AK + AL + LK = \frac{3}{4}c + \frac{3}{4}b + \frac{3}{4}b = \frac{3}{4}(c + 2b)$.
Периметр исходного треугольника $ABC$ равен $P_{ABC} = c + 2b$.
Таким образом, $P_{ALK} = \frac{3}{4} P_{ABC}$.
По условию задачи $P_{ABC} = 48$ см. Вычисляем искомый периметр:
$P_{ALK} = \frac{3}{4} \cdot 48 = 3 \cdot 12 = 36$ см.

Ответ: 36 см.