Номер 14.13, страница 107 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.13. Стороны данного треугольника равны 15 см, 25 см и 35 см. Найдите стороны подобного ему треугольника, у которого:

1) периметр равен 45 см;

2) разность наибольшей и наименьшей сторон составляет 16 см.

14.13. Стороны данного треугольника равны 15 см, 25 см и 35 см. Найдите стороны подобного ему треугольника, у которого:

1) периметр равен 45 см;

2) разность наибольшей и наименьшей сторон составляет 16 см.

Пусть стороны данного треугольника равны $a_1 = 15$ см, $b_1 = 25$ см и $c_1 = 35$ см. Пусть стороны подобного ему треугольника равны $a_2, b_2, c_2$. Так как треугольники подобны, их стороны пропорциональны. Обозначим коэффициент подобия через $k$. Тогда:

$a_2 = k \cdot a_1 = 15k$

$b_2 = k \cdot b_1 = 25k$

$c_2 = k \cdot c_1 = 35k$

1) периметр равен 45 см;

Периметр исходного треугольника $P_1$ равен сумме его сторон: $P_1 = 15 + 25 + 35 = 75$ см. Периметр подобного ему треугольника $P_2$ по условию равен 45 см. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия $k$: $k = \frac{P_2}{P_1} = \frac{45}{75} = \frac{3 \cdot 15}{5 \cdot 15} = \frac{3}{5}$. Теперь найдем стороны второго треугольника, умножив стороны первого треугольника на коэффициент подобия $k$: $a_2 = 15 \cdot \frac{3}{5} = 9$ см. $b_2 = 25 \cdot \frac{3}{5} = 15$ см. $c_2 = 35 \cdot \frac{3}{5} = 21$ см. Проверим периметр: $9 + 15 + 21 = 45$ см. Условие выполняется.

Ответ: 9 см, 15 см, 21 см.

2) разность наибольшей и наименьшей сторон составляет 16 см.

Наибольшая сторона исходного треугольника равна 35 см, а наименьшая — 15 см. Соответствующие стороны подобного треугольника будут $c_2 = 35k$ (наибольшая) и $a_2 = 15k$ (наименьшая). По условию, их разность равна 16 см: $c_2 - a_2 = 16$ $35k - 15k = 16$ $20k = 16$ $k = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$. Теперь найдем стороны второго треугольника: $a_2 = 15 \cdot \frac{4}{5} = 12$ см. $b_2 = 25 \cdot \frac{4}{5} = 20$ см. $c_2 = 35 \cdot \frac{4}{5} = 28$ см. Проверим разность наибольшей и наименьшей сторон: $28 - 12 = 16$ см. Условие выполняется.

Ответ: 12 см, 20 см, 28 см.