Номер 14.16, страница 108 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.16. Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ и радиусами 8 см и 12 см соответственно имеют внешнее касание в точке $A$. Их общая внешняя касательная пересекает прямую $O_1O_2$ в точке $B$. Найдите расстояния от точки $B$ до центров данных окружностей.

14.16. Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ и радиусами 8 см и 12 см соответственно имеют внешнее касание в точке $A$. Их общая внешняя касательная пересекает прямую $O_1O_2$ в точке $B$. Найдите расстояния от точки $B$ до центров данных окружностей.

Пусть $r_1 = 8$ см и $r_2 = 12$ см — радиусы окружностей с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ соответственно. Поскольку окружности касаются внешним образом в точке А, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов:

$O_1O_2 = r_1 + r_2 = 8 + 12 = 20$ см.

Точка касания А лежит на отрезке $O_1O_2$.

Пусть общая внешняя касательная касается окружностей в точках C и D (C на окружности с центром $O_1$, D на окружности с центром $O_2$). Эта касательная пересекает прямую $O_1O_2$ в точке B.

Рассмотрим треугольники $\triangle BO_1C$ и $\triangle BO_2D$.

Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной:

$O_1C \perp CD$ и $O_2D \perp CD$.

Следовательно, углы $\angle O_1CB$ и $\angle O_2DB$ являются прямыми. Также, поскольку прямые $O_1C$ и $O_2D$ перпендикулярны одной и той же прямой CD, они параллельны друг другу ($O_1C \parallel O_2D$).

Треугольники $\triangle BO_1C$ и $\triangle BO_2D$ подобны по двум углам:

1. $\angle B$ — общий.
2. $\angle BCO_1 = \angle BDO_2 = 90^\circ$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$\frac{BO_1}{BO_2} = \frac{O_1C}{O_2D}$

Подставим известные значения радиусов $O_1C = r_1 = 8$ см и $O_2D = r_2 = 12$ см:

$\frac{BO_1}{BO_2} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

Обозначим искомое расстояние $BO_1$ через $x$. Тогда $BO_1 = x$.

Точка B лежит на прямой $O_1O_2$ вне отрезка $O_1O_2$. Из чертежа видно, что расстояние $BO_2$ равно сумме расстояний $BO_1$ и $O_1O_2$.

$BO_2 = BO_1 + O_1O_2 = x + 20$.

Подставим эти выражения в полученную пропорцию:

$\frac{x}{x + 20} = \frac{2}{3}$

Решим это уравнение относительно $x$:

$3x = 2(x + 20)$

$3x = 2x + 40$

$3x - 2x = 40$

$x = 40$ см.

Таким образом, расстояние от точки B до центра $O_1$ равно $BO_1 = 40$ см.

Найдем расстояние от точки B до центра $O_2$:

$BO_2 = x + 20 = 40 + 20 = 60$ см.

Ответ: расстояние от точки B до центра первой окружности ($O_1$) равно 40 см, а до центра второй окружности ($O_2$) — 60 см.